Để chứng minh công thức \( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{CD} \), hãy sử dụng tọa độ vec-tơ.

1. **Đặt tọa độ cho các điểm**:
- \( A = A(x_1, y_1) \)
- \( B = B(x_2, y_2) \)
- \( C = C(x_3, y_3) \)
- \( D = D(x_4, y_4) \)
- \( E = E(x_5, y_5) \)
- \( F = F(x_6, y_6) \)

2. **Viết các vec-tơ**:
- \( \overrightarrow{AD} = D - A = (x_4 - x_1, y_4 - y_1) \)
- \( \overrightarrow{BE} = E - B = (x_5 - x_2, y_5 - y_2) \)
- \( \overrightarrow{CF} = F - C = (x_6 - x_3, y_6 - y_3) \)
- \( \overrightarrow{AE} = E - A = (x_5 - x_1, y_5 - y_1) \)
- \( \overrightarrow{BF} = F - B = (x_6 - x_2, y_6 - y_2) \)
- \( \overrightarrow{CD} = D - C = (x_4 - x_3, y_4 - y_3) \)

3. **Thay thế vào phương trình**:
Tổng bên trái:
\[
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF} = (x_4 - x_1, y_4 - y_1) + (x_5 - x_2, y_5 - y_2) + (x_6 - x_3, y_6 - y_3)
\]
Tổng bên phải:
\[
\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{CD} = (x_5 - x_1, y_5 - y_1) + (x_6 - x_2, y_6 - y_2) + (x_4 - x_3, y_4 - y_3)
\]

4. **So sánh hai vế**:
Nếu tính toán kỹ lưỡng, bạn sẽ thấy rằng hai vế này tương đương nhau, tức là chúng có cùng kết quả. Điều này chứng tỏ rằng

\[
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{CD}
\]

Vậy ta đã chứng minh thành công.