Để giải tam giác vuông ABC tại A, chúng ta sẽ áp dụng các định lý và công thức hình học cho mỗi trường hợp cụ thể đã cho. Dưới đây là cách giải cho từng trường hợp:

### a) \( b = 10 \, m \), góc \( C = 30^\circ \)

1. **Tính \( a \)**:
- Theo định nghĩa của sin trong tam giác vuông:
\[
\sin(C) = \frac{AC}{BC} \implies \sin(30^\circ) = \frac{b}{a} \implies \frac{1}{2} = \frac{10}{a} \implies a = 20 \, m
\]

2. **Tính \( c \)**:
- Áp dụng định lý Pythagore:
\[
c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{20^2 - 10^2} = \sqrt{400 - 100} = \sqrt{300} \approx 17.32 \, m
\]

### b) \( c = 10 \, m \), góc \( C = 45^\circ \)

1. **Tính \( a \)**:
- Vì \( C = 45^\circ \), ta có góc \( B = 45^\circ \).
- Do đó, \( AC = b \) cũng là \( 10 \, m \) (cạnh đối với góc B).
\[
a = b\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \approx 14.14 \, m
\]

2. **Tính \( b \)**:
- Đã biết \( b = 10 \, m \).

### c) \( a = 20 \, m \), góc \( B = 45^\circ \)

1. **Tính \( b \)**:
- Tương tự như trường hợp b:
\[
b = a \cdot \sin(B) = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \approx 14.14 \, m
\]
- \( c \) cũng sẽ bằng \( 20\sqrt{2} \approx 28.28 \, m \).

### d) \( c = 21 \, cm \), \( b = 18 \, cm \)

1. **Tính \( a \)**:
- Áp dụng định lý Pythagore:
\[
a = \sqrt{c^2 + b^2} = \sqrt{21^2 + 18^2} = \sqrt{441 + 324} = \sqrt{765} \approx 27.65 \, cm
\]

### e) \( a = 15 \, cm \), \( b = 10 \, cm \)

1. **Tính \( c \)**:
- Áp dụng định lý Pythagore:
\[
c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{15^2 - 10^2} = \sqrt{225 - 100} = \sqrt{125} \approx 11.18 \, cm
\]

### f) \( b = 12 \, cm \), \( c = 7 \, cm \)

1. **Tính \( a \)**:
- Áp dụng định lý Pythagore:
\[
a = \sqrt{c^2 + b^2} = \sqrt{7^2 + 12^2} = \sqrt{49 + 144} = \sqrt{193} \approx 13.89 \, cm
\]

Tóm lại, các kết quả cho các trường hợp như sau:
- a) \( a = 20 \, m, c \approx 17.32 \, m \)
- b) \( a \approx 14.14 \, m, b = 10\, m \)
- c) \( b \approx 14.14 \, m, c \approx 28.28 \, m \)
- d) \( a \approx 27.65 \, cm \)
- e) \( c \approx 11.18 \, cm \)
- f) \( a \approx 13.89 \, cm \)

Hy vọng đáp án này giúp bạn hoàn thành bài tập!