Để giải phương trình \(\sqrt{x^2} + x - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}\) với điều kiện \(x \geq 0\) hoặc \(x \leq -1\), ta thực hiện các bước sau:

1. **Rút gọn phương trình**:
\[
\sqrt{x^2} + x - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}
\]
Ta có thể rút gọn:
\[
\sqrt{x^2} + x = 0
\]

2. **Giải phương trình**:
Phương trình này có thể viết lại thành:
\[
\sqrt{x^2} = -x
\]
Vì \(\sqrt{x^2} = |x|\), ta có:
1. Nếu \(x \geq 0\), thì \(|x| = x\), phương trình trở thành \(x = -x\), dẫn đến \(x = 0\).
2. Nếu \(x \leq -1\), thì \(|x| = -x\), phương trình trở thành \(-x = -x\), luôn đúng cho bất kỳ \(x \leq -1\).

3. **Kiểm tra điều kiện**:
- Với \(x = 0\): Không thỏa mãn \(x \leq -1\).
- Với \(x \leq -1\): Thỏa mãn điều kiện.

4. **Kết luận**:
Phương trình có nghiệm \(x \leq -1\) (các giá trị trong khoảng này đều là nghiệm).