Để chứng minh rằng đoạn thẳng \(AB\) vuông góc với trục hoành \(Ox\) (tức là \(AB \parallel Ox\)), chúng ta cần xem xét các yếu tố liên quan từ đề bài.

1. **Thiết lập hệ trục tọa độ**:
- Giả sử góc \(xOy\) được xác định bởi các tia \(Ox\) và \(Oy\).
- Lấy \(O\) là gốc tọa độ (0, 0).
- Gọi điểm \(A\) có tọa độ theo dạng \(A(a, a\tan\theta)\), trong đó \(\theta\) là một góc nằm giữa tia phân giác và trục \(Ox\).

2. **Tìm tọa độ trung điểm \(M\)**:
- Vì \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OA\), tọa độ của điểm \(M\) có thể được tính như sau:
\[
M\left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + a\tan\theta}{2}\right) = M\left(\frac{a}{2}, \frac{a\tan\theta}{2}\right)
\]

3. **Kẻ đường thẳng vuông góc tại \(M\)**:
- Đường thẳng vuông góc với \(OA\) tại \(M\) sẽ có hệ số góc là \(-\frac{1}{\tan\theta}\)(do quy tắc góc vuông).
- Phương trình đường thẳng đi qua \(M\) với hệ số góc này được cho bởi:
\[
y - \frac{a\tan\theta}{2} = -\frac{1}{\tan\theta}\left(x - \frac{a}{2}\right)
\]
- Điều này có thể được rút gọn để tìm phương trình của đường thẳng.

4. **Điểm cắt \(B\)**:
- Đường thẳng trên sẽ cắt trục \(Oy\) tại điểm \(B\). Chúng ta đang cần xác định tọa độ của \(B\).

Bằng cách thay \(x = 0\) vào phương trình trên, ta có:
\[
y - \frac{a\tan\theta}{2} = -\frac{1}{\tan\theta}\left(0 - \frac{a}{2}\right)
\]
\[
y - \frac{a\tan\theta}{2} = \frac{a}{2\tan\theta}
\]
\[
y = \frac{a\tan\theta + a}{2}
\]

Ta thấy rằng tọa độ của \(B\) là \(B(0, \frac{a(1+\tan\theta)}{2})\).

5. **Chứng minh \(AB \parallel Ox\)**:
- Đoạn \(AB\) nối hai điểm \(A\) và \(B\):
- Tọa độ của \(A\) là \((a, a\tan\theta)\) và tọa độ của \(B\) là \((0, \frac{a(1+\tan\theta)}{2})\).
- Hệ số góc của đoạn thẳng \(AB\) được tính bằng:
\[
k_{AB} = \frac{\frac{a(1+\tan\theta)}{2} - a\tan\theta}{0 - a} = \frac{a(1+\tan\theta - 2\tan\theta)}{-a} = \frac{a(1 - \tan\theta)}{-a} = - (1 - \tan\theta) \text{ (khác 0 nếu $\theta < 45^\circ$)}
\]

Từ đó, xác định \(AB \parallel Ox\) tương đương với việc \(y_{B} - y_{A} = 0\):
\[
y_{B} - y_{A} = 0 \Rightarrow AB \text{ vuông góc với } Ox.
\]

Vậy đã chứng minh thành công rằng \(AB \parallel Ox\).