Chúng ta sẽ lần lượt giải từng phần của bài toán này.

a) Ta cần chứng minh tứ giác ABEC là hình chữ nhật.

- Vì ∠BAC = 90°, nên tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
- Gọi M là trung điểm của BC. Ta có:
\[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \]
\[ AM = \frac{\sqrt{AB^2 + AC^2}}{2} \]

- Ta có E đối xứng với A qua M và ME = MA nên E nằm trên đường thẳng MA kéo dài.

#### Chứng minh tứ giác ABEC là hình chữ nhật:

- Trước tiên, vì A và E đối xứng qua M nên:
\[ ME = MA \]
- Vì tam giác ABC vuông tại A, \[ ∠BAC = 90^\circ \]
- A, E đối xứng qua M, nghĩa là:
\[ AM = EM \]
- Gọi M là trung điểm của BC (vì trọng tâm của tam giác vuông).
- Xét vị trí của điểm E: A, E là đối xứng qua M nên tứ giác ABEC có AB song song với EC và góc ∠BAC = ∠BEC = 90°.

Vậy tứ giác ABEC là hình chữ nhật.

b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua C. Chứng minh tứ giác BEAC là hình bình hành.

- Khi D đối xứng với A qua C, ta có:
\[ D và A nằm trên đường thẳng vuông góc với chiều dọc qua C \]
- AD cắt EC tại C (tức C nằm ở trung điểm của AD).
- Mà BC và AD đối xứng qua M (vì M là trung điểm của đường chéo BC).

#### Chứng minh tứ giác BEAC là hình bình hành:

- Ta có: ME = MA, M là trung điểm của BC nên:
\[ ME = MA = AB/2 = AC/2 \]
- Theo tính chất đối xứng:
\[ D đối xứng A qua C \]
- Tứ giác BEAC có hai cặp đối song song:
\[ BE \parallel AC \text{ và } AC \parallel DE. \]

=> Tứ giác BEAC là hình bình hành (vì đối xứng BD).

c) Gỉa sử AB = 8 cm và AC = 6 cm, tính ME.

- Theo định lý Pythagoras:
\[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm} \]
- M là trung điểm BC:
\[ BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, \text{cm} \]
- Với tam giác vuông AM trục chiếu M từ trọng tâm, ME = MA:
\[ MA = \frac{1}{2} \sqrt{AB^2+ AC^2} = \frac{10}{2} = 5 \, \text{cm} \]
\[ ME = 5 \, \text{cm} \]

d) Lấy điểm N là trung điểm DB, NE cắt BC tại H, NC cắt AE tại K. Chứng minh rằng HK vuông góc với MN.

- Ta có:
\[ DB là đường chéo của hình bình hành DBNC, N là trung điểm của DB \]
- Gọi Vị trí \[H\] là giao điểm của NE và BC.

#### Chứng minh HK vuông góc với MN:

- Theo tính chất đường trung bình:
\[ DE//CN \]
trong đường thẳng ABEC hình chữ nhật.

Do đó,
\[ DB // AC nên K và H cắt điểm vuông góc tại đoạn : MN. \]

\[ Q.E.D \]

Hy vọng các bước này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về yêu cầu và chứng minh từng bước bài toán.