Ta cần chứng minh rằng:
\[ S = \sum_{n=1}^{100} \frac{n}{3^n} < \frac{3}{4}. \]

Xét số hạng tổng quát của tổng \( S \):
\[ \frac{n}{3^n}. \]

Để tìm giá trị của \( S\), ta xét tổng vô hạn:
\[ T = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}. \]

Tổng vô hạn này có thể được tìm bằng cách sử dụng các công thức của chuỗi số học và chuỗi hình học. Đầu tiên, xét chuỗi vô hạn:
\[ \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \text{ với } |x| < 1. \]

Lấy đạo hàm hai vế theo \( x \):
\[ \sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}. \]

Nhân cả hai vế với \( x \), ta được:
\[ \sum_{n=1}^{\infty} nx^n = \frac{x}{(1-x)^2}. \]

Trong trường hợp \( x = \frac{1}{3} \):
\[ \sum_{n=1}^{\infty} n \left( \frac{1}{3} \right)^n = \frac{\frac{1}{3}}{\left(1 - \frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}} = \frac{\frac{1}{3} \times 9}{4} = \frac{3}{4}. \]

Do đó:
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n} = \frac{3}{4}. \]

Một nhận xét quan trọng là \( S \) là tổng của 100 số hạng đầu tiên của chuỗi vô hạn trên. Vì \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n} \) là một chuỗi hội tụ, nên:
\[ S = \sum_{n=1}^{100} \frac{n}{3^n} < \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n} = \frac{3}{4}. \]

Vậy ta đã chứng minh được rằng:
\[ 1/3 + 2/3^2 + 3/3^3 + ... + 99/3^{99} + 100/3^{100} < \frac{3}{4}. \]