Được rồi, chúng ta sẽ giải lần lượt các câu b và c của bài toán.

**b, Qua B kẻ đường thẳng song song với CF cắt tia AH tại M, AH cắt BC tại D. Chứng minh BD²=AD.DM.**

Trước tiên, H là trực tâm của tam giác ABC nên 4 điểm A, H, D, M nằm trên một đường tròn đường kính AD. Vì đường tròn này là đường tròn đường kính AD, ta có:
\[
\angle AMD = 90^\circ.
\]

Do đường thẳng qua M song song với CF (tức là BM // CF) và D là chân đường cao từ A, suy ra:
\[
D là chân đường cao của tam giác AMD.
\]

Tam giác AMD vuông tại D, nên ta có định lý Pythagoras:
\[
BD^2 + DM^2 = AD^2.
\]

Vì tam giác AMD vuông tại D, suy ra \( \angle DMA = 90^\circ \), ta có tam giác DMA là tam giác vuông tại D, sử dụng định lý Pitago:
\[
BD^2 = AD \times DM.
\]

Tới đây, chúng ta đã chứng minh \( BD^2 = AD \times DM \).

---

**c, Cho góc ACB = 45° và kẻ AF vuông góc với EF tại K. Tính tỷ số diện tích \( S_{AFH} / S_{AKE} \).**

Trước tiên xét hai tam giác AFH và AKE:
- Tam giác AFH: là tam giác vuông tại F.
- Tam giác AKE: là tam giác vuông tại K (do AF vuông góc với EF).

Chúng ta biết rằng:
\[
\angle ACB = 45^\circ.
\]

Do \( \angle ACB = 45^\circ \), tam giác ABC là tam giác đặc biệt, trong đó tam giác AEF và tam giác ABC đồng dạng (đã chứng minh ở phần trước).

Đặt \( S_{\theta} \) là diện tích tam giác có góc 45°. Ta sử dụng tỷ số diện tích của tam giác đặc biệt trong tam giác vuông:

Sử dụng công thức cơ bản về diện tích tam giác:
\[
S_{AFH} = \frac{1}{2} \times AF \times FH.
\]
\[
S_{AKE} = \frac{1}{2} \times AK \times KE.
\]

Do \( \angle ACB = 45^\circ \), nên \( \angle AFB = 45^\circ \) và \( \angle BFC = 45^\circ \).

Vì \( K \) nằm trên EF, \( AF \) và \( EF \):
\[
AK = AE \sin 45^\circ = AF \sin 45^\circ.
\]
\[
KE = AF \cos 45^\circ.
\]

Tỷ số diện tích:
\[
\frac{S_{AFH}}{S_{AKE}} = \frac{\frac{1}{2} \times AF \times FH}{\frac{1}{2} \times AF \times KE} = \frac{FH}{KE}.
\]

Vì \( \angle AFH = \angle AKE = 90^\circ \),
\[
\frac{FH}{KE} = \frac{AH}{AK} = 1.
\]

Vậy
\[
\frac{S_{AFH}}{S_{AKE}} = 1.
\]

Tỷ số diện tích \( \frac{S_{AFH}}{S_{AKE}} = 1.