Sure, chúng ta sẽ cùng giải quyết các bài toán này từng bước một:

### Bài 1:
**a) Chứng minh AI = CK và góc IAC = góc KCA:**

Giả sử hình bình hành ABCD với \(AB \parallel CD\) và \(AD \parallel BC\). Gọi \(K\) là trung điểm của \(AB\) và \(I\) là trung điểm của \(CD\).

1. **Chứng minh \(AI = CK\):**

- Vì \(K\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AK = KB\).
- Vì \(I\) là trung điểm của \(CD\) nên \(CI = ID\).

Ta có:
\[
AB = CD \quad \text{(Do ABCD là hình bình hành)}
\]

Do đó, vì \(AK = \frac{AB}{2}\) và \(CI = \frac{CD}{2}\):
\[
AK = CI
\]

Tức là:
\[
AI = \sqrt{AC^2 - CI^2}
\]
\[
CK = \sqrt{AC^2 - AK^2}
\]

Do \(AK = CI\) nên \(AI = CK\).

2. **Chứng minh góc IAC = góc KCA:**

Do \(I\) và \(K\) là trung điểm của \(CD\) và \(AB\):
\[
\triangle AIC \sim \triangle KCA \quad (cạnh AI = cạnh CK \quad \text{và} \quad AC là cạnh chung)
\]

Do đó, góc \(IAC (= \angle AIC\)) bằng góc \(KCA (= \angle KAC)\).

**b) Chứng minh \(AI \parallel CK\):**

Do \(AB \parallel CD\), và \(K\) là trung điểm của \(AB\), \(I\) là trung điểm của \(CD\), ta có:
\[
AK \parallel CI \quad (\text{vì cả hai đoạn thẳng đều phân giác song song})
\]

Do đó \(AI \parallel CK\).

### Bài 2:
**Chứng minh 3 điểm \(K\), \(O\), \(I\) thẳng hàng và các đường thẳng \(AC\), \(BD\), \(KI\) đồng quy:**

1. **Chứng minh 3 điểm \(K\), \(O\), \(I\) thẳng hàng:**

Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\).

Theo tính chất hình bình hành, \(O\) là điểm chính giữa của \(AC\) và \(BD\).

Giả sử \(AK = CI\), \(K\) trên \(AB\) và \(I\) trên \(CD\).

Xét hai tam giác \(AKO\) và \(CIO\):
- \(AK=CI\) (giả thiết).
- \(AO\) = \(CO\) (vì \(O\) là trung điểm của \(AC\)).
- \(\angle AKO = \angle CIO\) (vì \(O\) đối xứng qua tâm).

Do đó, hai tam giác \(AKO\) và \(CIO\) bằng nhau.

Nên:
\[
K,O,I \quad \text{thẳng hàng}
\]

2. **Chứng minh các đường thẳng \(AC\), \(BD\), \(KI\) đồng quy:**

Từ phần trên, ta đã chứng minh được \(O\) nằm trên cả \(AC\), \(BD\), và \(KI\).

Vì \(O\) là điểm chung của các đường thẳng \(AC\), \(BD\), và \(KI\), nên chúng đồng quy tại \(O\).

Hy vọng điều này giúp bạn giải quyết bài toán!