Tìm đa thức P(x), biết rằng P(0) = 1, P(1) = 3, P(-1) = -1 và P(x) chia cho đa thức x^3 - x được thương là x^ 2+ 1 và còn dư

Để tìm đa thức \( P(x) \), chúng ta biết rằng \( P(x) \) chia cho \( x^3 - x \) được thương là \( x^2 + 1 \) và còn dư.

Ta có:
\[ P(x) = (x^3 - x)(x^2 + 1) + r(x) \]
trong đó \( r(x) \) là phần dư và bậc của \( r(x) \) nhỏ hơn bậc của \( x^3 - x \). Vì \( x^3 - x = x(x-1)(x+1) \), nên bậc của \( r(x) \) nhỏ hơn 3. Do đó, ta giả sử:
\[ r(x) = ax^2 + bx + c \]

Vậy ta có:
\[ P(x) = (x^3 - x)(x^2 + 1) + ax^2 + bx + c \]

Tiếp theo, chúng ta sẽ dùng các điều kiện cho trước để giải hệ phương trình cho các hệ số \( a \), \( b \), và \( c \).

Đầu tiên ta tính \( P(0) \):
\[ P(0) = 1 \Rightarrow a(0)^2 + b(0) + c = 1 \]
\[ \Rightarrow c = 1 \]

Tiếp theo, tính \( P(1) \):
\[ P(1) = 1^5 + 1 = 3 \Rightarrow a(1)^2 + b(1) + c = 3 \]
\[ \Rightarrow a + b + 1 = 3 \]
\[ \Rightarrow a + b = 2 \]

Cuối cùng, tính \( P(-1) \):
\[ P(-1) = (-1)^5 + 1 = -1 \Rightarrow a(-1)^2 + b(-1) + c = -1 \]
\[ \Rightarrow a - b + 1 = -1 \]
\[ \Rightarrow a - b = -2 \]

Bây giờ ta có hệ phương trình:
\[ a + b = 2 \]
\[ a - b = -2 \]

Giải hệ phương trình này:
- Cộng hai phương trình lại:
\[ (a + b) + (a - b) = 2 + (-2) \]
\[ 2a = 0 \Rightarrow a = 0 \]

- Thay \( a = 0 \) vào phương trình đầu tiên:
\[ 0 + b = 2 \Rightarrow b = 2 \]

Vậy ta thấy \( a = 0 \), \( b = 2 \), và \( c = 1 \). Phương trình của \( r(x) \) sẽ là:
\[ r(x) = 0x^2 + 2x + 1 = 2x + 1 \]

Do đó, phương trình của \( P(x) \) là:
\[ P(x) = (x^3 - x)(x^2 + 1) + 2x + 1 \]
\[ = x^5 + x - x^3 - x + 2x + 1 \]
\[ = x^5 - x^3 + 2x + 1 \]

Như vậy, đa thức \( P(x) \) là:
\[ P(x) = x^5 - x^3 + 2x + 1 \]