Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước như sau:

**a, Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang cân**

1. **Vẽ hình:**

- Vẽ tam giác ABC đều.
- Vẽ đường cao BN từ đỉnh B xuống đáy AC.
- Vẽ đường cao CM từ đỉnh C xuống đáy AB.

2. **Chứng minh BMNC là hình thang cân:**

Trong tam giác đều ABC, các đường cao cũng là các đường trung tuyến và đường phân giác. Đường cao từ B và từ C sẽ cắt nhau tại H tại trung điểm của đoạn cạnh đối diện.

Vì BM và CN đều là đường cao của tam giác đều ABC, nên BM và CN cũng vuông góc với các cạnh của tam giác tương ứng. Điều này có nghĩa là BN // CM (vì cả hai đường đều là đường cao trong tam giác đều và đều vuông góc với đáy của tam giác).

Do BN // CM và BM = CN (vì trong tam giác đều, các đường cao, trung tuyến và phân giác sẽ cân bằng nhau), chúng ta có thể kết luận tứ giác BMNC là hình thang cân.

**b, Tính chu vi của hình thang BMNC, biết chu vi tam giác ABC bằng 24 cm.**

Tam giác ABC là tam giác đều với chu vi 24 cm, nên mỗi cạnh của tam giác ABC sẽ bằng:
\[ \frac{24}{3} = 8 \text{ cm} \]

Ta xét tam giác đều có cạnh 8 cm. Trong tam giác đều, các đường cao (BN và CM) được tính theo công thức:
\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times cạnh \]

Áp dụng vào đây:
\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 8 = 4\sqrt{3} \]

Do hình thang BMNC là hình thang cân, nên các cạnh bên BM và CN (là đường cao) cũng sẽ có độ dài bằng:
\[ BM = CN = 4\sqrt{3} \]

Chu vi hình thang BMNC bằng tổng các cạnh:
\[ BM + MN + CN + BN = 4\sqrt{3} + 8 + 4\sqrt{3} + 8 = 8\sqrt{3} + 16 \]

Vậy chu vi của hình thang BMNC là:
\[ 8\sqrt{3} + 16 \text{ cm} \]

**Hình vẽ:**

Dưới đây là hình vẽ minh họa cho bài toán:

\[
\begin{array}{ccccccc}
& & & A & & & \\
& & /& | &\ & & \\
& |/ & |BN& & & & \\
& / & | & \| & \ & & \\
C &──&──&──&──&──& B \\
& &/ & M & \ & & \\
& |──&──&──&──| & & \\
& & & &N & & \\

\end{array}
\]