Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC 

Để chứng minh các phần trong bài toán, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và đường cao. Dưới đây là các bước giải chi tiết cho các ý c, d:

**c) Chứng minh: ΔADE đồng dạng với ΔACB**.

Để chứng minh ΔADE đồng dạng với ΔACB, ta cần tìm các góc bằng nhau giữa hai tam giác này.

- Xét tam giác vuông ABC vuông tại A:
+ Góc BAC = 90 độ
+ AH là đường cao, nên tạo thành các góc vuông tại D và E:
* Góc ADE = 90 độ (trong tam giác ADE)
* Góc ACB = 90 độ (trong tam giác ABC)

- Xét tam giác ADE và tam giác ACB:
+ Góc DAE = Góc CAB (góc chung)

Do hai tam giác có hai góc bằng nhau, nên hai tam giác đồng dạng theo trường hợp đồng dạng góc-góc (AA):

=> ΔADE ∽ ΔACB.

**d) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì để diện tích tứ giác AEHD bằng diện tích tam giác ABC**.

Điều kiện cần để diện tích của tứ giác AEHD bằng diện tích tam giác ABC là: tam giác ADE phải bằng nửa diện tích của tam giác ABC.

Tính diện tích tam giác ABC:

- Diện tích tam giác ABC:
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} × AB × AC \]

Tính diện tích tứ giác AEHD:

- Diện tích tam giác ADE:
\[ S_{ADE} = \frac{1}{2} × AD × AE \]
Do \( AH \) là đường cao của tam giác vuông ABC, ta có \( AB = AD \) và \( AC = AE \), vậy \( S_{ADE} = \frac{1}{2} × AH^2 \).

- Diện tích tam giác ΔADE và tứ giác AEHD:
\[ S_{AEHD} = S_{ABC} - S_{ADE} \]

Khi:
\[ S_{AEHD} = S_{ABC} \]

=> Điều này xảy ra khi \( AD \) hoặc \( AE \) bằng 1/2 chiều dài tổng của tam giác chính (do đó \( D \) hoặc \( E \) là trung điểm).

=> \( D \) và \( E \) phải là các trung điểm của \( AB \) và \( AC \).

Vậy, tam giác ABC cần phải có cạnh vuông có trung điểm, tức là tam giác ABC phải có đường trung bình đi qua chân đường cao AH để diện tích của tứ giác AEHD bằng diện tích tam giác ABC.