Cho tam giác ABC vuông tại A với độ dài các cạnh AB = 8 cm và AC = 15 cm. Để tính các đại lượng AH, BC, HB, HC, chúng ta sẽ áp dụng định lý Pythagoras và một số công thức quan hệ trong tam giác vuông.

1. **Tính độ dài cạnh BC (cạnh huyền):**

Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC, ta có:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
Thay giá trị AB và AC vào, ta có:
\[
BC^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289
\]
Do đó, độ dài cạnh BC là:
\[
BC = \sqrt{289} = 17 \text{ cm}
\]

2. **Tính chiều cao AH:**

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác vuông ABC theo hai cách, ta có:
\[
\text{Diện tích tam giác ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 8 \times 15 = 60 \text{ cm}^2
\]
\[
\text{Diện tích tam giác ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH
\]
Từ đó, ta suy ra:
\[
\frac{1}{2} \times 17 \times AH = 60
\]
\[
17 \times AH = 120
\]
\[
AH = \frac{120}{17} \approx 7.06 \text{ cm}
\]

3. **Tính HB và HC:**

Sử dụng các tính chất của đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[
HB = \frac{AB^2}{BC}
\]
Thay giá trị AB và BC vào, ta có:
\[
HB = \frac{8^2}{17} = \frac{64}{17} \approx 3.76 \text{ cm}
\]
Tương tự, ta có:
\[
HC = \frac{AC^2}{BC}
\]
Thay giá trị AC và BC vào, ta có:
\[
HC = \frac{15^2}{17} = \frac{225}{17} \approx 13.24 \text{ cm}
\]

Tóm lại, các độ dài cần tính là:
- \(BC = 17 \text{ cm}\)
- \(AH \approx 7.06 \text{ cm}\)
- \(HB \approx 3.76 \text{ cm}\)
- \(HC \approx 13.24 \text{ cm}\)