Để xác định giá trị của \(x\) để mỗi biểu thức có nghĩa, ta cần xem xét các điều kiện sau:

### a) \(\displaystyle \frac{x}{x+2} + \sqrt{x-2}\)

1. Điều kiện cho phân thức \(\frac{x}{x+2}\) có nghĩa:
- Mẫu số khác 0: \(x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2\).

2. Điều kiện cho căn bậc hai \(\sqrt{x-2}\) có nghĩa:
- Biểu thức dưới căn phải không âm: \(x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2\).

=> Vậy, \(x\) phải thỏa mãn điều kiện: \(x \geq 2\).

### b) \(\displaystyle \sqrt{x + \frac{3}{x} + \sqrt{-3x}}\)

3. Điều kiện cho \(\sqrt{-3x}\) có nghĩa:
- Biểu thức dưới căn phải không âm: \(-3x \geq 0 \Rightarrow x \leq 0\).

4. Điều kiện cho \(\frac{3}{x}\) có nghĩa:
- Mẫu số khác 0: \(x \neq 0\).

5. Điều kiện cho \(x + \frac{3}{x} + \sqrt{-3x}\):
- Biểu thức dưới căn bậc hai phải không âm: \(x + \frac{3}{x} + \sqrt{-3x} \geq 0\).

Kết hợp các điều kiện trên, ta có:
- \(x \leq 0\)
- \(x \neq 0\)

=> Vậy, \(x\) phải thỏa mãn điều kiện: \(x < 0\).

### Tóm lại:
a) \(\displaystyle \frac{x}{x+2} + \sqrt{x-2}\) có nghĩa khi \(x \geq 2\).

b) \(\displaystyle \sqrt{x + \frac{3}{x} + \sqrt{-3x}}\) có nghĩa khi \(x < 0\).