Cho tam giác cân \( ABC \) cân tại \( A \). Ta chọn các điểm \( M \) và \( N \) trên các cạnh \( AB \) và \( AC \) sao cho \( BM = CN \). Kẻ đường cao \( AH \) vuông góc với \( BC \) tại \( H \). Cần chứng minh rằng \( AH \) vuông góc với \( MN \).

Ta sử dụng ký hiệu và giải thích trong quá trình chứng minh như sau:

1. **Tính chất đối xứng của tam giác cân \( ABC \)**:
- Vì tam giác cân tại \( A \), nên \( AB = AC \) và đường cao \( AH \) cũng đồng thời là đường trung tuyến và đường phân giác của góc \( \angle BAC \).

2. **Các phép biến hình đối xứng qua đường trung tuyến \( AH \) của tam giác cân**:
- Gọi \( B' \) và \( C' \) lần lượt là hai điểm đối xứng của \( B \) và \( C \) qua \( AH \). Rõ ràng, \( B' \) và \( C' \) hoán đổi vị trí cho nhau khi đối xứng qua \( AH \) và \( B' = C \), \( C' = B \).

3. **Vị trí của các điểm \( M \) và \( N \)**:
- Gọi \( M' \) là điểm đối xứng của \( M \) qua \( AH \), vì \( AH \) làm trung trực của đoạn \( MN \), nên \( M' \) cũng nằm trên \( AC \) từ tính chất đối xứng của \( AB \) và \( AC \).
- Từ giả thiết bài toán \( BM = CN \), do đó, khi thực hiện đối xứng, \( BM' = CM \).

4. **Chứng minh tính vuông góc giữa \( AH \) và \( MN \)**:
- Ta biết rằng từ tính chất đối xứng của \( M \) và \( N \) qua \( AH \), đoạn thẳng \( MN \) cắt \( AH \) tại điểm nào đó, gọi đó là \( D \).
- Vì \( AH \) là trung trực của đoạn \( MN \), nên \( MD = ND \).
- Theo định nghĩa trung trực, nếu một điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng, thì nó cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó, do đó \( AH \) vuông góc với \( MN \).

Từ các điều trên, suy ra \( AH \) vuông góc với \( MN \). Vậy ta chứng minh được rằng \( AH \) vuông góc với \( MN \).