Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 4 cm và góc C = 30°.

1. Tính BC:
Vì góc C = 30° nên góc B = 60° (do tam giác ABC là tam giác vuông tại A).

Sử dụng định lý về tam giác vuông đặc biệt (tam giác 30°-60°-90°), ta có:
- Cạnh đối diện góc 30° (cạnh AC) bằng một nửa cạnh huyền (BC).

Do đó:
\[ BC = 2 \cdot AC = 2 \cdot 4 \text{ cm} = 8 \text{ cm} \]

2. Tính AB:
Trong tam giác vuông ABC, chúng ta có thể sử dụng định lý Pythagoras:
\[ AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} \]

Thay giá trị vào:
\[ AB = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \, \text{cm} \]

3. Tính AH:
Trong tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia tam giác thành hai tam giác vuông AHC và AHB. Ta có thể dùng diện tích của tam giác để tính AH.

Diện tích tam giác ABC có thể được tính theo hai cách:
\[ S = \frac{1}{2} \times AC \times AB = \frac{1}{2} \times 4 \times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \]

Mặt khác, diện tích tam giác này cũng có thể được tính theo cách:
\[ S = \frac{1}{2} \times BC \times AH \]
\[ 8\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 8 \times AH \]
\[ 8\sqrt{3} = 4 \times AH \]
\[ AH = 2\sqrt{3} \, \text{cm} \]

Tóm lại:
- \( AH = 2\sqrt{3} \, \text{cm} \)
- \( AB = 4\sqrt{3} \, \text{cm} \)
- \( BC = 8 \, \text{cm} \)