Để giải các phương trình này, ta thực hiện tuần tự từng phương trình và giải bước một.

a) \((2x-7)^2 - 6(2x-7)(x-3) = 0\):

Đặt \( t = 2x - 7 \), khi đó phương trình trở thành:
\[ t^2 - 6t(x-3) = 0 \]
\[ t(t - 6(x-3)) = 0 \]
\[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t = 6(x-3) \]

#### Trường hợp 1: \( t = 0 \):
\[ 2x - 7 = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{2} \]

#### Trường hợp 2: \( t = 6(x-3) \):
\[ 2x - 7 = 6(x-3) \]
\[ 2x - 7 = 6x - 18 \]
\[ -7 + 18 = 4x \Rightarrow x = \frac{11}{4} \]

Vậy nghiệm của phương trình a là \( x = \frac{7}{2} \) hoặc \( x = \frac{11}{4} \).

b) \( x^3 + 1 + (x^2 - x + 1) = 0 \):

Phương trình trở thành:
\[ x^3 + x^2 - x + 2 = 0 \]

Nhận thấy phương trình này không có nghiệm rõ ràng, sẽ cần sử dụng phương pháp khác (như phương pháp thử nghiệm) hoặc giải bằng công cụ chuyên dụng.

c) \((3x+1)^2 - x^2 + 8x - 16 = 0\):

Khai triển và thu gọn các hạng tử:
\[ (3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1 \]
\[ 9x^2 + 6x + 1 - x^2 + 8x - 16 = 0 \]
\[ 8x^2 + 14x - 15 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm:
\[ \Delta = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-15) = 196 + 480 = 676 \]
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-14 \pm 26}{16} \]

Các nghiệm là:
\[ x = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}, \quad x = \frac{-40}{16} = -\frac{5}{2} \]

d) \((x + 1)(x-1)^2 - (x + 1)(x-2)^2 = 0\):

Đặt \( t = x+1 \), ta có:
\[ t(x-1)^2 - t(x-2)^2 = 0 \]
\[ t((x-1)^2 - (x-2)^2) = 0 \]

Khử ẩn \(t\):
\[ (x-1)^2 - (x-2)^2 = 0 \]
\[ (x^2-2x+1) - (x^2-4x+4) = 0 \]
\[ -2x + 1 + 4x - 4 = 0 \]
\[ 2x - 3 = 0 \]
\[ x = \frac{3}{2} \]

Nghiệm thêm từ \( t = 0 \) cho ta:
\[ x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \]

Vậy nghiệm của phương trình d là \( x = \frac{3}{2} \) và \( x = -1 \).

e) \((3x + 1)(x-3)^2 = (3x + 1)(2x-5)^2\):

Nếu \(3x + 1 \neq 0\), ta chia hai vế cho \( (3x+1) \):
\[ (x-3)^2 = (2x-5)^2 \]

Giả sử \( x - 3 = \pm (2x - 5) \), sẽ có hai trường hợp:

#### Trường hợp 1: \( x - 3 = 2x - 5 \):
\[ -3+5 = x \Rightarrow x = 2 \]

#### Trường hợp 2: \( x - 3 = -(2x - 5) \):
\[ x - 3 = -2x + 5 \]
\[ x + 2x = 5 + 3 \Rightarrow 3x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{3} \]

Nếu \( 3x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{3} \).

Vậy nghiệm của phương trình e là \( x = 2 \), \( x = \frac{8}{3} \) và \( x = -\frac{1}{3} \).

f) \((x+5)(3x + 2)^2 = x^2(x + 5)\):

Nếu \( x + 5 \neq 0 \), ta chia hai vế cho \( (x + 5) \):
\[ (3x + 2)^2 = x^2 \]

Ta sẽ có hai trường hợp:
\[ 3x + 2 = \pm x \]

#### Trường hợp 1: \( 3x + 2 = x \):
\[ 3x - x = -2 \]
\[ 2x = -2 \Rightarrow x = -1 \]

#### Trường hợp 2: \( 3x + 2 = -x \):
\[ 3x + x = -2 \]
\[ 4x = -2 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \]

Nếu \( x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5 \).

Vậy nghiệm của phương trình f là \( x = -1 \), \( x = -\frac{1}{2} \) và \( x = -5 \).