Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các bước:

a) Giải tam giác ABC:
- Tam giác ABC vuông tại A, biết AC = 6cm, AB = 8cm.
- Ta cần tính cạnh BC (cạnh huyền) sử dụng định lý Pythagore:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]
\[ BC^2 = 8^2 + 6^2 \]
\[ BC^2 = 64 + 36 \]
\[ BC^2 = 100 \]
\[ BC = \sqrt{100} = 10 \text{ (cm)} \]
Vậy, BC = 10 cm.

b) Kẻ đường cao AH, tính AH, BH:
- Ta sử dụng công thức đường cao trong tam giác vuông:
\[ AH = \frac{AB \times AC}{BC} \]
\[ AH = \frac{8 \times 6}{10} \]
\[ AH = \frac{48}{10} \]
\[ AH = 4.8 \text{ (cm)} \]

Để tính BH:
- Ta biết AH là đường cao, nên từ ABH và AHC đều vuông tại H:
\[ \text{Diện tích tam giác ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC \]
\[ \text{Diện tích tam giác ABC} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \text{ cm}^2 \]

- Đồng thời, diện tích tam giác ABC cũng có thể tính bằng:
\[ \text{Diện tích tam giác ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH \]
\[ 24 = \frac{1}{2} \times 10 \times 4.8 \]
=> Đúng là 24 cm². Vậy ta có:
\[ \text{Diện tích tam giác BAH} = \frac{1}{2} \times AB \times BH = 24 \text{ (cm)}^2 \]
\[ BH = \frac{2 \times 24}{AB} = \frac{48}{8} = 6 \text{ (cm)} \]

c) Tính MB, biết M là điểm trung điểm của AC:
- M là trung điểm của AC, nên AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3 cm.
- Tam giác AMB là tam giác vuông tại A vì ABC là tam giác vuông, tổng các góc trong tam giác bằng 90 độ nên góc A của tam giác ABC vẫn giữ nguyên là 90 độ, do đó AMB vuông tại M.
- Ta tính MB sử dụng định lý Pythagore cho tam giác AMB vuông:
\[ MB^2 = AM^2 + AB^2 \]
\[ MB^2 = 3^2 + 8^2 \]
\[ MB^2 = 9 + 64 \]
\[ MB^2 = 73 \]
\[ MB = \sqrt{73} \text{cm} \]

Vậy MB = \(\sqrt{73}\) cm.