Cho ∆ABC. Trên tia đối tia BC lấy điểm D sao cho BD = BA; trên tia đối tia CB lấy điểm E sao cho CE = CA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AB; từ E vẽ đường thẳng song song với AC, chúng cắt nhau tại O. Chứng minh OA là phân giác của góc DOE

Để chứng minh OA là phân giác của góc DOE, ta sẽ bắt đầu bằng việc dùng các tính chất hình học và dựng các mối quan hệ giữa các điểm và các đoạn thẳng trong bài toán.

**Bước 1:** Dựng hình và các giả thiết:
- Cho tam giác ∆ABC.
- Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho \(BD = BA\).
- Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho \(CE = CA\).
- Từ D vẽ đường thẳng song song với AB, gọi đường thẳng này là d'.
- Từ E vẽ đường thẳng song song với AC, gọi đường thẳng này là d''.
- Hai đường thẳng d' và d'' cắt nhau tại O.

**Bước 2:** Nhận xét các tính chất:
- Vì \(BD = BA\) và \(CE = CA\), ta có \(BD \parallel OE\) và \(CE \parallel DO\) vì các đoạn thẳng song song với nhau.
- Xem tam giác \(\Delta ABC\) và tam giác \(\Delta DBC\), ta có \(BD = BA\), \(D\) là điểm ở ngoài ∆ABC mở rộng, tạo ra hình hình bình hành (do tính chất của các đường song song).

**Bước 3:** Xét hình bình hành:
- Vì \(BD = BA\), và \(BD \parallel EO\), suy ra tứ giác BEOA là hình bình hành, do vậy \(BO = AE\).
- Tương tự, vì \(CE = CA\), và \(CE \parallel DO\), suy ra tứ giác CEOA là hình bình hành, do vậy \(CO = AD\).

**Bước 4:** Suy ra các mối quan hệ giữa các góc:

- Vì \(BD \parallel OE\) và \(CE \parallel DO\), góc giữa \(OA\) và \(DO\) bằng góc giữa \(OA\) và \(EO\), gọi đây là góc α.

**Bước 5:** Tính góc:
- Suy ra góc DOA = góc EOA = α.

**Bước 6:** Kết luận:
- Từ đó, ta suy ra \(OA\) là tia phân giác của góc DOE.

Do đó, đã chứng minh được rằng \(OA\) là phân giác của góc DOE.