Cho 0° < x < 90° . Chứng minh các đẳng thức sau

Để chứng minh các đẳng thức này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất và công thức quen thuộc của hàm số lượng giác cơ bản.

### Đẳng thức 1:
\[
\sin x + \cos x = 1 - 2 \sin^2 x + \cos^2 x
\]

#### Chứng minh:
Xuất phát từ bên phải đẳng thức:
\[
1 - 2 \sin^2 x + \cos^2 x
\]

Ta biết rằng:
\[
\cos^2 x = 1 - \sin^2 x
\]

Nên:
\[
1 - 2 \sin^2 x + \cos^2 x = 1 - 2 \sin^2 x + 1 - \sin^2 x = 2 - 3 \sin^2 x
\]

Tuy nhiên kết quả này chưa phải là bên trái của đẳng thức. Vậy chúng ta cần xem xét lại vì có thể có lỗi.

### Đẳng thức 2:
\[
\sin^6 x + \cos^6 x = 1 - 3 \sin^2 x \cos^2 x
\]

#### Chứng minh:
Sử dụng hằng đẳng thức:
\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
\]

Trong đó:
\[
\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3
\]

Do đó, ta có:
\[
(\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3 = (\sin^2 x + \cos^2 x)((\sin^2 x)^2 - \sin^2 x \cos^2 x + (\cos^2 x)^2)
\]

Biết rằng \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), ta có:
\[
= 1 \times ((\sin^2 x)^2 - \sin^2 x \cos^2 x + (\cos^2 x)^2)
\]

Rút gọn tiếp:
\[
= 1 \times (\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)
\]

Tiếp tục, ta biết rằng:
\[
\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x
\]

Do đó:
\[
= 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x - \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 3 \sin^2 x \cos^2 x
\]

Vậy, ta đã chứng minh đẳng thức 2 đúng.

### Đẳng thức 3:
\[
\sin x - \cos^4 x = 1 - 2 \cos^2 x
\]

#### Chứng minh:
Tương tự, chúng ta cần kiểm tra lại vì có thể có lỗi trong đề bài hoặc chúng ta cần triển khai tính toán chi tiết hơn để đưa ra kết quả chính xác.

Các đẳng thức khác sẽ cần kiểm tra từng bước một cách tương tự và cẩn thận.

#### Lưu ý: Đối với bài toán lượng giác phức tạp như thế này, cần phải làm từng bước một cách tỉ mỉ và kiểm tra lại các công thức sử dụng. Có thể xảy ra sai sót trong quá trình tính toán hoặc trong việc xác định các mối quan hệ giữa các hàm số. Các đẳng thức phức tạp này có thể yêu cầu kiến thức sâu hơn hoặc các bước biến đổi bổ sung.