**Chứng minh BC vuông góc với CD:**

Cho hình thang ABCD (AB // CD) có \(\widehat{A} = 3\widehat{D}\) và \(\widehat{B} = \widehat{C}\). Ta cần chứng minh \(BC \perp CD\).

Bởi vì ABCD là hình thang nên:

\[ \widehat{A} + \widehat{D} = 180^\circ \]
\[ \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ \]
Do \(\widehat{B} = \widehat{C}\), ta có:
\[ 2\widehat{B} = 180^\circ \]
\[ \widehat{B} = 90^\circ \]
\[ \widehat{C} = 90^\circ \]

Từ \(\widehat{A} = 3\widehat{D}\) và \(\widehat{A} + \widehat{D} = 180^\circ\), ta có:
\[ 3\widehat{D} + \widehat{D} = 180^\circ \]
\[ 4\widehat{D} = 180^\circ \]
\[ \widehat{D} = 45^\circ \]
\[ \widehat{A} = 135^\circ \]

Khi đó, ta có \( \widehat{C} = 90^\circ \) nên \( BC \perp CD \).

**Chứng minh CA là tia phân giác của \( \widehat{BCD}\):**

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có đáy nhỏ \(AB\) bằng cạnh bên \(BC\). Ta cần chứng minh \(CA\) là tia phân giác của \(\widehat{BCD}\).

Ở hình thang cân, các góc tại hai đỉnh cùng ở một bên với đáy nhỏ AB là bằng nhau:
\[ \widehat{A} = \widehat{B} \]
\[ \widehat{D} = \widehat{C} \]

Giả sử \(\widehat{BAC} = \alpha\), vì đoạn AB nhỏ hơn BC, ta có:
\[ \widehat{CAB} = \widehat{CBA} = \alpha \]

Do \(AB = BC\), tam giác \(ABC\) là tam giác cân tại B với góc:
\[ \widehat{CBA} = \alpha\]

Xét tam giác \(BCD\):
\[ BC\) là cạnh bên, \(D\) là đáy lớn, ta có \( \widehat{BCD} = 2 \widehat{CAB} \]

Chia đều tương ứng góc \(\widehat{BCD}\):
\[ \widehat{BCA} = \widehat{DCA} = \frac{\widehat{BCD}}{2}\)

Vậy \(CA)\ là đường phân giác của góc: \(\widehat{BCD}\).