Để chứng minh tam giác ABC vuông và tính đường cao AH, ta hãy làm các bước sau đây:

### a) Chứng minh tam giác ABC vuông

Ta sử dụng định lý Pythagoras để kiểm tra xem tam giác ABC có phải là tam giác vuông không.

Xét ba cạnh của tam giác:

- AB = 12 cm
- AC = 16 cm
- BC = 20 cm

Theo định lý Pythagoras:
\[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \]

Tính AB^2, AC^2 và BC^2:

\[ AB^2 = 12^2 = 144 \]
\[ AC^2 = 16^2 = 256 \]
\[ BC^2 = 20^2 = 400 \]

Kiểm tra tổng của AB^2 và AC^2 có bằng BC^2 không:

\[ AB^2 + AC^2 = 144 + 256 = 400 \]

Vậy:
\[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \]

Điều này chứng tỏ tam giác ABC vuông tại A.

### b) Tính đường cao AH

Gọi H là điểm hạ từ A vuông góc xuống BC. Ta cần tính độ dài của AH.

Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có thể sử dụng công thức đường cao trong tam giác vuông, đó là:
\[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} \]

Thay các độ dài của các đoạn vào công thức:
\[ AH = \frac{12 \cdot 16}{20} \]
\[ AH = \frac{192}{20} \]
\[ AH = 9.6 \text{ cm} \]

Vậy, đường cao AH là 9.6 cm.