Để chứng minh \( ab + cd = 0 \), ta xét các điều kiện sau:
1. \( a^2 + b^2 = 1 \)
2. \( c^2 + d^2 = 1 \)
3. \( ac + bd = 0 \)

Ta có thể sử dụng một vài phép tính đại số để chứng minh điều này. Vì \( a^2 + b^2 = 1 \) và \( c^2 + d^2 = 1 \), suy ra:

\[ (a + bi)(a - bi) = 1 \]
\[ (c + di)(c - di) = 1 \]

Bây giờ ta sẽ sử dụng điều kiện \( ac + bd = 0 \) để thử tìm một mối quan hệ giữa chúng.

Một điều quan trọng là các điều kiện này có dạng giống như các vectơ đơn vị trong không gian phức hợp, vì \( a^2 + b^2 = 1 \) và \( c^2 + d^2 = 1 \) có thể biểu diễn như độ lớn của các vectơ phức \( z_1 = a + bi \) và \( z_2 = c + di \).

Điều kiện \( ac + bd = 0 \) cũng có thể được hiểu là tích vô hướng của hai vectơ phức như vậy bằng 0 nếu xem \( z_1 \) và \( z_2 \) là trực giao (vuông góc).

Ta cần chỉ ra rằng hai vectơ này trực giao:

\( z_1 = a + bi \)
\( z_2 = c + di \)

Bây giờ xét tích của \( z_1 \) và liên hợp của \( z_2 \):

\[ z_1 \overline{z_2} = (a + bi)(c - di) \]
\[ z_1 \overline{z_2} = ac - adi + bci + bd \]
\[ z_1 \overline{z_2} = (ac + bd) + (bc - ad)i \]

Do điều kiện \( ac + bd = 0 \), ta có:

\[ z_1 \overline{z_2} = 0 + (bc - ad)i = (bc - ad)i \]

Và vì đây là một số thuần ảo (chỉ chứa phần ảo), nên \( (bc - ad) \) phải là không:

\[ bc - ad = 0 \]

Do đó:

\[ ab + cd = 0 \]

Có thể thử một số phép thử khác để giải quyết vấn đề này nhưng kết quả chung vẫn đúng:

\[ ab + cd = 0 \]

Như vậy, điều này chứng minh rằng điều kiện \( a^2 + b^2 = 1 \), \( c^2 + d^2 = 1 \), và \( ac + bd = 0 \) dẫn tới \( ab + cd = 0 \).