Cho tam giác ABC nhọn, hai đường cao AI và BE cắt nhau tại H

Chúng ta bắt đầu chứng minh từng phần của bài toán dựa trên các tính chất của tam giác và đường cao.

**a. Chứng minh \(\triangle BHI \sim \triangle AHI\):**

Ta có:

- \(AI\) và \(BE\) là đường cao của tam giác \(ABC\), vì vậy ta có các góc vuông \(AIB = 90^\circ\) và \(BEA = 90^\circ\).
- Xét hai tam giác \(\triangle BHI\) và \(\triangle AHI\), ta có \(\angle BHI\) và \(\angle AHI\) bằng nhau vì đều cùng là góc đối đỉnh.

Do đó, xét hai tam giác \(\triangle BHI\) và \(\triangle AHI\):

- \(\angle BHI = \angle AHI\) (góc đối đỉnh)
- \(\angle IHB\) và \(\angle IHA\) là góc vuông

Từ đó, hai tam giác \(\triangle BHI\) và \(\triangle AHI\) có hai góc tương ứng bằng nhau (các góc vuông và góc đối đỉnh), nên \(\triangle BHI \sim \triangle AHI\) theo tiêu chuẩn góc - góc.

**b. Chứng minh \(\triangle CBE \sim \triangle CAI\):**

Xét hai tam giác \(\triangle CBE\) và \(\triangle CAI\):

- Ta có: \(\angle CBE = \angle CAI = 90^\circ\) vì \(\angle CBE\) và \(\angle CAI\) đều là góc vuông do \(BE\) và \(AI\) là đường cao của tam giác \(ABC\).
- Góc ở đỉnh C (\(\angle BCE\) và \(\angle CAI\)) bằng nhau vì đây là góc của tam giác \(ABC\).

Như vậy, hai tam giác \(\triangle CBE\) và \(\triangle CAI\) có hai góc tương ứng bằng nhau nên chúng đồng dạng theo tiêu chuẩn góc - góc.

**c. Chứng minh \(\triangle CEI \sim \triangle CBA\):**

Xét hai tam giác \(\triangle CEI\) và \(\triangle CBA\):

- Ta có \(\angle CEI = 90^\circ\) và \(\angle CBA = 90^\circ\).
- Góc ở đỉnh \(C\) trong \( \triangle CEI \) là góc đỉnh chính của tam giác.

Vì vậy hai tam giác này có hai góc tương ứng bằng nhau, nên chúng đồng dạng theo tiêu chuẩn góc - góc.

**d. Chứng minh \(\triangle IHE \sim \triangle BHA\):**

Xét hai tam giác \(\triangle IHE\) và \(\triangle BHA\):

- Ta có \(\angle IHE = 90^\circ\) (góc vuông do \(IE\) và \(HE\) là hai đoạn của đường cao cắt nhau).

- \(\angle IHE = \angle BHA\) (góc đối đỉnh).

- \(\angle EHI = \angle AHB\) (một phần của góc nhọn và góc phụ của tam giác).

Do đó, hai tam giác có hai góc tương ứng bằng nhau nên chúng đồng dạng theo tiêu chuẩn góc - góc.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh rằng các tam giác:

a. \(\triangle BHI \sim \triangle AHI\).

b. \(\triangle CBE \sim \triangle CAI\).

c. \(\triangle CEI \sim \triangle CBA\).

d. \(\triangle IHE \sim \triangle BHA\).