Để tìm \( n \) thuộc \( \mathbb{Z} \) sao cho biểu thức \( \frac{12n - 16}{3n - 5} \) là một số nguyên, ta tiến hành như sau:

Gọi số hữu tỉ trên là \( A \), ta có:
\[ A = \frac{12n - 16}{3n - 5} \]

Để \( A \) là một số nguyên, thì mẫu số phải là ước của tử số. Phân tích biểu thức ta có:
\[ \frac{12n - 16}{3n - 5} \]

Ta tiến hành chia tử số cho mẫu số:
\[ 12n - 16 = 4(3n - 5) + 4 \]

Vậy:
\[ \frac{12n - 16}{3n - 5} = 4 + \frac{4}{3n - 5} \]

Để tổng này là một số nguyên, thì \( \frac{4}{3n - 5} \) phải là một số nguyên.

Giả sử \( \frac{4}{3n - 5} = k \) với \( k \) là một số nguyên, ta có:
\[ 4 = k(3n - 5) \]

Như vậy \( k \) phải là một ước của \( 4 \). Các ước của \( 4 \) là: \( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \).

Xét các trường hợp:

1. Nếu \( k = 1 \):
\[ 4 = 3n - 5 \implies 3n = 9 \implies n = 3 \]

2. Nếu \( k = -1 \):
\[ 4 = - (3n - 5) \implies 4 = -3n + 5 \implies 3n = 1 \implies n = \frac{1}{3} \] (không phải số nguyên, loại)

3. Nếu \( k = 2 \):
\[ 4 = 2(3n - 5) \implies 4 = 6n - 10 \implies 6n = 14 \implies n = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \] (không phải số nguyên, loại)

4. Nếu \( k = -2 \):
\[ 4 = -2(3n - 5) \implies 4 = -6n + 10 \implies 6n = 6 \implies n = 1 \]

5. Nếu \( k = 4 \):
\[ 4 = 4(3n - 5) \implies 4 = 12n - 20 \implies 12n = 24 \implies n = 2 \]

6. Nếu \( k = -4 \):
\[ 4 = -4(3n - 5) \implies 4 = -12n + 20 \implies 12n = 16 \implies n = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \] (không phải số nguyên, loại)

Vậy các giá trị \( n \) thỏa mãn điều kiện của đề bài là \( n = 1, 2, 3 \).