Để tìm dư của đa thức \( f(x) \) khi chia cho \( (x + 1)(x^2 + 1) \), ta sẽ sử dụng định lý về dư trong phép chia đa thức. Đa thức \( f(x) \) có dạng:

\[ f(x) = (x+1)(x^2 + 1)Q(x) + ax^2 + bx + c \]

với \( Q(x) \) là thương và \( ax^2 + bx + c \) là đa thức dư cần tìm. Ta có các thông tin sau:

1. Khi chia \( f(x) \) cho \( x+1 \) dư 4:
\[ f(-1) = 4 \]

2. Khi chia \( f(x) \) cho \( x^2 + 1 \) dư \( 2x + 3 \):
\[ f(ix) = 2ix + 3 \]
với \( i \) là đơn vị ảo thỏa mãn \( i^2 = -1 \).

Trước tiên, thay \( x = -1 \) vào để tìm giá trị của \( a, b, c \):
\[ f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c = 4 \]

Tiếp theo, thay \( x = i \) và \( x = -i \) vào:
\[ f(i) = ai^2 + bi + c = a(-1) + bi + c = -a + bi + c = 2i + 3 \]
Ta có phần thực và phần ảo phải khớp:
- Phần thực: \( -a + c = 3 \)
- Phần ảo: \( b = 2 \)

\[ f(-i) = a(-i)^2 + b(-i) + c = a(-1) - bi + c = -a - bi + c = -2i + 3 \]
- Phần thực: \( -a + c = 3 \) (tương tự)
- Phần ảo: \( -b = -2 \), vậy \( b = 2 \)

Giải hệ phương trình từ các phần thực và phần dư khi \( x = -1 \):
1. \( -a + c = 3 \)
2. \( a - b + c = 4 \)

Thay \( b = 2 \) vào (2):
\[ a - 2 + c = 4 \]
\[ a + c = 6 \]

Giải hệ:
\[ -a + c = 3 \]
\[ a + c = 6 \]

Cộng hai phương trình:
\[ (-a + c) + (a + c) = 3 + 6 \]
\[ 2c = 9 \]
\[ c = 4.5 \]

Thay \( c = 4.5 \) vào (1):
\[ -a + 4.5 = 3 \]
\[ -a = -1.5 \]
\[ a = 1.5 \]

Kết luận, đa thức dư của \( f(x) \) khi chia cho \((x+1)(x^2+1) \) là:
\[ 1.5x^2 + 2x + 4.5 \]