Để chứng minh rằng biểu thức \( P = 5x \left(\frac{44}{5} - x\right) - (5x + 1)(x + 9) \) luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến \( x \), hãy thực hiện các bước như sau:

1. Mở rộng và rút gọn biểu thức \( P \):

Bắt đầu bằng việc mở rộng các phần tử trong \( P \):

\[
P = 5x \left(\frac{44}{5} - x\right) - (5x + 1)(x + 9)
\]

\[
P = 5x \cdot \frac{44}{5} - 5x^2 - (5x^2 + 45x + x + 9)
\]

\[
P = 44x - 5x^2 - (5x^2 + 46x + 9)
\]

2. Kết hợp các hạng tử đồng dạng:

\[
P = 44x - 5x^2 - 5x^2 - 46x - 9
\]

\[
P = -10x^2 + 44x - 46x - 9
\]

\[
P = -10x^2 - 2x - 9
\]

3. Phân tích dạng của \( P \):

Đây là một đa thức bậc hai \( P(x) = -10x^2 - 2x - 9 \) với hệ số bậc hai là \( a = -10 \), hệ số bậc nhất là \( b = -2 \), và hằng số \( c = -9 \). Bây giờ hãy xét dấu của đa thức này.

4. Xét tính âm của biểu thức:

Đầu tiên, nhận xét rằng vì \( a = -10 < 0 \), nên parabola biểu diễn bởi \( -10x^2 - 2x - 9 \) mở xuống dưới, nghĩa là đoạn parabola nằm dưới trục hoành trên toàn bộ miền giá trị của \( x \).

Để tìm giá trị cực tiểu của \( P(x) \), ta cần tìm tọa độ của đỉnh của parabola. Đỉnh của một parabola \( ax^2 + bx + c \) có hoành độ \( x \) là:

\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(-10)} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}
\]

5. Tính giá trị của \( P \) tại đỉnh để xác minh giá trị cực tiểu:

\[
P\left(\frac{1}{10}\right) = -10\left(\frac{1}{10}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{10}\right) - 9
\]

\[
= -10\left(\frac{1}{100}\right) - \frac{2}{10} - 9
\]

\[
= -\frac{10}{100} - \frac{2}{10} - 9
\]

\[
= -0.1 - 0.2 - 9
\]

\[
= -9.3
\]

Vì \( P(x) \) đạt giá trị cực tiểu là \( -9.3 \) tại \( x = \frac{1}{10} \), điều này chứng tỏ rằng \( P(x) \) luôn nhận giá trị âm đối với mọi giá trị của \( x \).

Do đó, chúng ta đã chứng minh rằng biểu thức \( P = 5x\left(\frac{44}{5} - x\right) - (5x + 1)(x + 9) \) luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến \( x \).