Cho tam giác ABC vuông tại A, D là trung điểm của BC. Vẽ DE song song với BA và DF song song với CA, trong đó E thuộc AC và F thuộc AB.

a) Ta cần chứng minh rằng tứ giác AEDF là hình chữ nhật:

- Vì DE song song với AB và DF song song với AC, nên DE song song với AF (vì AF là một đoạn thẳng con của AB) và DF song song với AE (vì AE là một đoạn thẳng con của AC).

- Đồng thời, vì AE và AF là các cạnh liên tiếp của tam giác ABC và DE và DF song song với chúng, nên các góc tại E và F là các góc vuông (vì chúng là các góc được tạo ra bởi các đường song song kẹp một cặp đường thẳng vuông góc).

- Do đó, tứ giác AEDF có hai góc vuông kề nhau, và vì các cạnh đối nằm song song, nên các góc còn lại cũng là góc vuông.

Vậy tứ giác AEDF là hình chữ nhật.

b) Ta cần chứng minh rằng tứ giác BDEF là hình bình hành:

- Ta có D là trung điểm của BC nên DB = DC.

- Đồng thời vì DE song song với AB, DF song song với AC, và AB = AC và BE = EC (do điều kiện của các đoạn nối trung điểm và đường song song trong tam giác vuông).

- Ta cũng biết rằng DE = DF vì DE và DF là các đoạn thẳng song song tương ứng với các cạnh của tam giác vuông và có chung trung điểm.

- Với các cạnh đối song song và bằng nhau, tứ giác BDEF là một hình bình hành.

Vậy tứ giác BDEF là một hình bình hành.