Cho đoạn thẳng BC. Điểm D thuộc cạnh BC sao cho DB < DC. Điểm T thuộc tia đối của tia BC sao cho DB/DC = TB/TC. Điểm A nằm ngoài đường thẳng BC sao cho góc DAT vuông. Chứng minh: AD là tia phân giác góc BAC

Cho đoạn thẳng \(BC\). Điểm \(D\) thuộc đoạn \(BC\) sao cho \(DB < DC\). Điểm \(T\) thuộc tia đối của tia \(BC\) sao cho \(\frac{DB}{DC} = \frac{TB}{TC}\). Điểm \(A\) nằm ngoài đường thẳng \(BC\) sao cho góc \( \angle DAT \) vuông. Chứng minh rằng \(AD\) là tia phân giác của góc \( \angle BAC\).

Chúng ta cần sử dụng một số kiến thức trong hình học về đường phân giác và các tính chất của tam giác vuông.

### Bước 1: Xác định các tam giác liên quan

Xét các tam giác \( \triangle DBA \) và \( \triangle DCA \). Hai tam giác này có chung cạnh \(AD\) và chúng ta cần chứng minh rằng tỉ số các độ dài các cạnh của chúng liên quan đến các đoạn thẳng \(BD\), \(DC\), \(TB\) và \(TC\).

### Bước 2: Tính toán tỉ số \(\frac{DB}{DC}\) trong tam giác vuông

Sử dụng tỉ số đã biết:
\[ \frac{DB}{DC} = \frac{TB}{TC} \]

Do điểm \(T\) thuộc tia đối của tia \(BC\), ta sẽ có:
\[ TB + TC = -1 \text{ (theo vectơ đối lập)} \]

### Bước 3: Sử dụng tính chất tam giác vuông

Vì \(\angle DAT\) vuông nên \(DT\) là đường cao từ đỉnh \(A\) đến cạnh \(BC\) trong tam giác vuông \( \triangle DAT\).

Ta có thể áp dụng định lý đường phân giác trong tam giác vuông. Định lý đường phân giác trong tam giác vuông phát biểu rằng tia phân giác của một góc trong một tam giác vuông chia góc còn lại thành hai góc có độ dài tỉ lệ với các đoạn thẳng bị cắt trên cạnh đối diện:

\[ \frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC} \]

### Bước 4: Chứng minh tính chất của phân giác

Từ các bước trên, chúng ta suy ra rằng đường thẳng \(AD\) chia cạnh \(BC\) tại điểm \(D\) theo tỉ số của các đoạn thẳng \(DB\) và \(DC\):
\[ \frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC} \]

Theo định lý phân giác, điều này đồng nghĩa với việc:
\[ AD \text{ là tia phân giác của góc } \angle BAC \]

### Kết luận

Vậy từ các tính chất và định lý đã sử dụng, ta chứng minh được rằng \(AD\) chính là đường phân giác của góc \( \angle BAC \).