Để so sánh hai số hữu tỉ \( \frac{a}{b} \) và \( \frac{a+1}{b+1} \), ta cần xác định xem số nào lớn hơn, nhỏ hơn hoặc bằng nhau. Ta sẽ thực hiện so sánh này như sau:

1. **Biểu diễn lại các phân số**:

\[ \frac{a}{b} \quad \text{và} \quad \frac{a+1}{b+1} \]

2. **So sánh hai phân số**:

Để so sánh hai phân số \( \frac{a}{b} \) và \( \frac{a+1}{b+1} \), ta có thể so sánh bằng cách đưa chúng về cùng mẫu:

Ta có:

\[ \frac{a}{b} = \frac{a(b+1)}{b(b+1)} \quad \text{và} \quad \frac{a+1}{b+1} = \frac{(a+1)b}{(b+1)b} \]

Vậy:

\[ a(b+1) \quad \text{và} \quad b(a+1) \]

3. **Rút gọn**:

Ta so sánh \( a(b+1) \) và \( b(a+1) \) bằng cách rút gọn:

\[ a(b+1) = ab + a \quad \text{và} \quad b(a+1) = ab + b \]

4. **Đưa về so sánh hai biểu thức**:

Ta so sánh hai biểu thức này:

\[ ab + a \quad \text{và} \quad ab + b \]

Vì \( a \) và \( b \) đều thuộc \( \mathbb{Z} \) (tức là số nguyên), ta trừ hai vế:

\[ a(b+1) - b(a+1) = (ab + a) - (ab + b) = a - b \]

Do đó, để biết được \( \frac{a}{b} \) lớn hơn, bé hơn hay bằng \( \frac{a+1}{b+1} \):

- Nếu \( a > b \), thì \( a - b > 0 \), do đó \( \frac{a}{b} > \frac{a+1}{b+1} \).
- Nếu \( a < b \), thì \( a - b < 0 \), do đó \( \frac{a}{b} < \frac{a+1}{b+1} \).
- Nếu \( a = b \), thì \( a - b = 0 \), do đó \( \frac{a}{b} = \frac{a+1}{b+1} \).

Tóm lại:
- Nếu \( a > b \) thì \( \frac{a}{b} > \frac{a+1}{b+1} \).
- Nếu \( a < b \) thì \( \frac{a}{b} < \frac{a+1}{b+1} \).
- Nếu \( a = b \) thì \( \frac{a}{b} = \frac{a+1}{b+1} \).