Giải hệ phương trình:

\[
\frac{x-3}{x-1} = \frac{x-4}{4x^2 - 4x} + \frac{x+1}{x}
\]

Để giải phương trình này, ta sẽ tìm một mẫu số chung để xét biểu thức về cùng một mẫu số.

1. Trước hết, viết lại phương trình ban đầu:

\[
\frac{x-3}{x-1} = \frac{x-4}{4x^2 - 4x} + \frac{x+1}{x}
\]

2. Biểu thức \(4x^2 - 4x\) có thể được viết lại là \(4x(x-1)\). Phương trình trở thành:

\[
\frac{x-3}{x-1} = \frac{x-4}{4x(x-1)} + \frac{x+1}{x}
\]

3. Ta cần tìm mẫu số chung. Mẫu số chung của các phân số này là \(4x(x-1)\). Ta nhân cả hai vế của phương trình với mẫu số chung:

\[
4x(x-1) \cdot \frac{x-3}{x-1} = 4x(x-1) \cdot \left( \frac{x-4}{4x(x-1)} + \frac{x+1}{x} \right)
\]

4. Đơn giản hóa từng vế của phương trình:

Bên trái:

\[
4x \cdot (x-3)
\]

Bên phải:

\[
\frac{4x(x-1)\cdot(x-4)}{4x(x-1)} + \frac{4x(x-1)\cdot(x+1)}{x} = (x-4) + 4(x-1)(x+1)
\]

5. Phương trình trở thành:

\[
4x(x-3) = (x-4) + 4(x^2 - 1)
\]

6. Giải phương trình trên:

Bên trái:

\[
4x(x-3) = 4x^2 - 12x
\]

Bên phải:

\[
(x-4) + 4(x^2 - 1) = x - 4 + 4x^2 - 4 = 4x^2 + x - 8
\]

7. Đặt phương trình đã đơn giản hóa lên cùng một vế:

\[
4x^2 - 12x = 4x^2 + x - 8
\]

Triệt tiêu \(4x^2\) ở cả hai vế:

\[
-12x = x - 8
\]

8. Giải phương trình đơn giản:

\[
-12x - x = -8
\]

\[
-13x = -8
\]

\[
x = \frac{8}{13}
\]

Như vậy, nghiệm của hệ phương trình là:

\[
x = \frac{8}{13}
\]

Ta có thể kiểm tra lại nghiệm này bằng cách thay vào phương trình ban đầu để đảm bảo rằng nghiệm là đúng.