Giải hệ phương trình:

\[ \frac{4x}{x - 2} - \frac{1}{x - 1} = \frac{8x - 7}{3x - 6} \]

Để giải phương trình này, chúng ta sẽ tìm mẫu số chung và sau đó phân tích từng phần tử để tìm nghiệm cho phương trình.

Trước hết, hãy xác định điều kiện xác định của phương trình. Chúng ta phải đảm bảo rằng các mẫu số không được bằng 0:

- \( x - 2 \neq 0 \) -> \( x \neq 2 \)

- \( x - 1 \neq 0 \) -> \( x \neq 1 \)

- \( 3x - 6 \neq 0 \) -> \( x \neq 2 \) \( (điều này trùng với điều kiện ban đầu) \)

Vậy, điều kiện xác định là \( x \neq 1 \) và \( x \neq 2 \).

Chúng ta sẽ viết lại phương trình dạng một tổng để có thể đơn giản hơn:

\[ \frac{4x}{x - 2} - \frac{1}{x - 1} = \frac{8x - 7}{3(x - 2)} \]

Bây giờ hãy tìm mẫu số chung để tiêu các phân số:

Mẫu chung là \(3(x - 2)(x - 1)\):

Chúng ta viết lại phương trình có mẫu số chung và khai triển:

\[ \frac{4x \cdot 3(x-1) - 1 \cdot 3(x - 2)}{(x - 2)(x - 1) \cdot 3} = \frac{8x - 7}{(x - 2)(x - 1)} \]

Sau khi khai triển và nhân cả hai vế với \(3(x - 2)(x - 1)\), chúng ta nhận được:

\[ 4x \cdot 3(x - 1) - 3(x - 2) = 8x - 7 \]

Làm rõ từng phần:

\[ 12x(x - 1) - 3(x - 2) = 8x - 7 \]

\[ 12x^2 - 12x - 3x + 6 = 8x - 7 \]

Chuyển tất cả các thành phần về một vế:

\[ 12x^2 - 15x + 6 - 8x + 7 = 0 \]

\[ 12x^2 - 23x + 13 = 0 \]

Đây là một phương trình bậc hai có dạng tiêu chuẩn \( ax^2 + bx + c = 0 \). Ta có các hệ số \( a = 12 \), \( b = -23 \), và \( c = 13 \).

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Chúng ta tính toán các giá trị:

\[ b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 13 = 529 - 624 = -95 \]

Vì \(\Delta = b^2 - 4ac < 0\), phương trình này vô nghiệm.

Do đó, hệ phương trình đã cho không có nghiệm nào thỏa mãn điều kiện xác định ban đầu.