Bài tập yêu cầu chúng ta chứng minh hai điều sau trong tam giác vuông \( \triangle ABC \):
1. \( EP = \frac{BC}{2} \)
2. \( KMFE \) là hình thang cân.

Để chứng minh, hãy vẽ hình và xem xét các chi tiết cụ thể rõ ràng:

1. **Vẽ hình:**

- Vẽ tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) với \( AB < AC \).
- \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( BM = MC \).
- Kẻ \( ME \perp AB \) ở điểm \( E \).
- Kẻ \( MF \perp AC \) ở điểm \( F \).
- Gọi \( AK \) là đường cao của \( \triangle ABC \).

```
A
/|\
/ | \
E/F/ | \ (E và F đều trên trục AB - yêu cầu cấu trúc đối xứng)
/____|____\
B M C
```

2. **Chứng minh \( EP = \frac{BC}{2} \):**

- Do \( M \) là trung điểm \( BC \), chúng ta có \( BM = \frac{BC}{2} \) và \( MC = \frac{BC}{2} \).
- Chân đường vuông góc \( ME \) từ \( M \) tới \( AB \) chia tam giác \( ABM \) thành hai tam giác vuông. Vì vậy, \( ME \) là đường trung bình của \( ABC \).

Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), và \( M \) có độ dài \( AB \):
- \( ME \) là đường trung bình của tam giác \( ABC \), nằm giữa và song song với \( AB \).

3. **Chứng minh \( KMFE \) là hình thang cân:**

- \( KMFE \) có \( KE \parallel MF \) vì chúng đều là các đường cao vuông góc với \( AB \) và \( AC \).
- Do \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( ME \perp AB \), \( MF \perp AC \), \( E \) và \( F \) nằm trên đường trung điểm, tức là cạnh từ hai bên song song và bằng nhau.

Như vậy, \( KMFE \) là hình thang cân vì cả hai cặp cạnh song song và đôi bên đối xứng .

Vì vậy, chúng ta đã chứng minh rằng \( KMFE \) là một hình thang cân và \( EP = \frac{BC}{2} \).