Chúng ta cùng giải từng biểu thức để tìm các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn các điều kiện sau:

**a) \((2 - x)(x + 1) = |y + 1|\):**

Xét từng trường hợp cho giá trị của biểu thức mô-đun:

1. Khi \((2 - x)(x + 1) = y + 1\):
\[
(2 - x)(x + 1) = y + 1
\]
Giải phương trình:
\[
2x + 2 - x^2 - x = y + 1
\]
\[
-x^2 + x + 2 = y + 1
\]
\[
y = -x^2 + x + 1
\]

2. Khi \((2 - x)(x + 1) = -(y + 1)\):
\[
(2 - x)(x + 1) = -(y + 1)
\]
Giải phương trình:
\[
2x + 2 - x^2 - x = -y - 1
\]
\[
-x^2 + x + 2 = -y - 1
\]
\[
y = -(-x^2 + x + 2 + 1)
\]
\[
y = x^2 - x - 3
\]

Do đó, các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn là:
\[
{(x, y)| y = -x^2 + x + 1 \text{ hoặc } y = x^2 - x - 3}
\]

**b) \((x + 3)(1 - x) = |y|\):**

Xét từng trường hợp cho giá trị của biểu thức mô-đun:

1. Khi \((x + 3)(1 - x) = y\):
\[
(x + 3)(1 - x) = y
\]
Giải phương trình:
\[
x + 3 - x^2 - 3x = y
\]
\[
-x^2 - 2x + 3 = y
\]

2. Khi \((x + 3)(1 - x) = -y\):
\[
(x + 3)(1 - x) = -y
\]
Giải phương trình:
\[
x + 3 - x^2 - 3x = -y
\]
\[
-x^2 - 2x + 3 = -y
\]

Do đó, các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn là:
\[
{(x, y)| y = -x^2 - 2x + 3 \text{ hoặc } y = x^2 + 2x - 3}
\]

**c) \((x - 2)(5 - x) = 2y + 1 + 2\):**

Đơn giản phương trình:
\[
(x - 2)(5 - x) = 2y + 3
\]
\[
5x - x^2 - 10 + 2x = 2y + 3
\]
\[
-x^2 + 7x - 10 = 2y + 3
\]
\[
2y = -x^2 + 7x - 13
\]
\[
y = \frac{-x^2 + 7x - 13}{2}
\]

Để \(y\) là số nguyên thì \(\frac{-x^2 + 7x - 13}{2}\) phải là số nguyên, điều này đồng nghĩa với tử số \(-x^2 + 7x - 13\) phải là số chẵn. Ta có thể thử giá trị của \(x\) để tử số là số chẵn.

Do đó, các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn là:
\[
y = \frac{-x^2 + 7x - 13}{2}
\]

Lưu ý rằng để kiểm tra cụ thể các giá trị của \(x\) có thể thử và kiểm tra tiêu chí trên để tìm cặp \((x, y)\) thỏa mãn.