Tính giá trị của các biểu thức sau

Để giải bài toán này, ta có hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x + y = 1 \\
x^3 + y^3 = 2
\end{cases}
\]

### Bước 1: Tính \( xy \)
Sử dụng công thức cho tổng lũy thừa ba:

\[
x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)
\]

Ở đây, \( x+y = 1 \), nên ta có:

\[
x^3 + y^3 = 1(x^2 - xy + y^2) = x^2 - xy + y^2
\]

Ta cũng biết rằng:

\[
x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 1^2 - 2xy = 1 - 2xy
\]

Thay vào phương trình \( x^3 + y^3 = 2 \):

\[
1 - 2xy - xy = 2 \\
1 - 3xy = 2
\]

Giải phương trình này:

\[
-3xy = 2 - 1 \\
-3xy = 1 \\
xy = -\frac{1}{3}
\]

### Bước 2: Tính \( x^2 + y^2 \)
Sử dụng công thức đã có:

\[
x^2 + y^2 = 1 - 2xy = 1 - 2\left(-\frac{1}{3}\right) = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}
\]

### Bước 3: Tính \( x^3 + y^3 \)
Theo dữ liệu đã cho, \( x^3 + y^3 = 2 \).

### Bước 4: Tính \( x^4 + y^4 \)
Sử dụng công thức:

\[
x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2
\]

Tính \( (xy)^2 \):

\[
(xy)^2 = \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}
\]

Vậy:

\[
x^4 + y^4 = \left(\frac{5}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{9}\right)
\]

Tính toán:

\[
\left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9} \\
2\left(\frac{1}{9}\right) = \frac{2}{9}
\]

Tính:

\[
x^4 + y^4 = \frac{25}{9} - \frac{2}{9} = \frac{23}{9}
\]

### Kết quả
Tóm lại, ta có các giá trị:

- \( xy = -\frac{1}{3} \)
- \( x^2 + y^2 = \frac{5}{3} \)
- \( x^3 + y^3 = 2 \)
- \( x^4 + y^4 = \frac{23}{9} \)