Cho hệ phương trình mx+4y=10-m và x+my = 4. Xác định giá trị nguyên m để hệ có nghiệm phương trình duy nhất (x;y) sao cho x=y

Để giải hệ phương trình

\[
\begin{cases}
mx + 4y = 10 - m \\
x + my = 4
\end{cases}
\]

với điều kiện \(x = y\), ta thay \(y\) bằng \(x\) trong phương trình đầu tiên:

\[
mx + 4x = 10 - m.
\]

Kết hợp các số hạng lại, ta có:

\[
(m + 4)x = 10 - m.
\]

Từ đó, ta có thể giải phương trình cho \(x\):

\[
x = \frac{10 - m}{m + 4} \quad (1).
\]

Tiếp theo, thay \(y\) cũng bằng \(x\) vào phương trình thứ hai:

\[
x + mx = 4.
\]

Kết hợp các số hạng lại, ta được:

\[
(1 + m)x = 4.
\]

Giải cho \(x\):

\[
x = \frac{4}{1 + m} \quad (2).
\]

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần hai biểu thức (1) và (2) bằng nhau:

\[
\frac{10 - m}{m + 4} = \frac{4}{1 + m}.
\]

Khi nhân chéo, ta có:

\[
(10 - m)(1 + m) = 4(m + 4).
\]

Mở rộng và chuyển tất cả sang một bên:

\[
10 + 10m - m - m^2 = 4m + 16.
\]

Tổ hợp lại:

\[
-m^2 + 5m - 6 = 0.
\]

Nhân cả hai vế với -1 để lấy hệ số dương:

\[
m^2 - 5m + 6 = 0.
\]

Giải phương trình bậc hai bằng công thức:

\[
m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}.
\]

Ta có hai nghiệm:

\[
m_1 = \frac{6}{2} = 3 \quad \text{và} \quad m_2 = \frac{4}{2} = 2.
\]

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần \(m \neq -4\) và \(m \neq -1\) (điều kiện để các mẫu không bằng 0).

Với hai giá trị nguyên trên, ta có:

- \(m = 2\)
- \(m = 3\)

Vậy các giá trị nguyên \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( (x, y) \) với \( x = y \) là \( m = 2 \) và \( m = 3 \).