Cho ∆ABC có O là giao điểm ba đường trung trực của AB;BC; CA. D là điểm nằm trên tia đối tia OA sao cho OD = OA

Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh các phần a), b) và c).

### a) Chứng minh rằng \( DC \perp CA \)

1. **Đặt O** là giao điểm của ba đường trung trực của ∆ABC. Từ định nghĩa, điểm O cách đều ba đỉnh A, B và C, tức là \( OA = OB = OC \).

2. **Xét tam giác COD**: Ta có \( OD = OA \) và \( O \) là điểm trung tâm, nên \( CD = OD \).

3. **Chứng minh góc**: Khi điểm D nằm trên tia đối của tia OA, ta có:
- \( \angle AOD = 180^\circ \) (do D nằm trên tia đối của OA).
- Ta có tam giác OAC với \( OA = OC \) và D là điểm nằm cách đều OA, nghĩa là \( \angle OAC + \angle CAD + \angle DAC = 180^\circ \).

4. **Từ đó**, ta có \( \angle ODC = 90^\circ \), tức là \( DC \perp CA \).

### b) Gọi H là trực tâm ∆ABC. Chứng minh rằng HD đi qua trung điểm BC

1. **Trực tâm H** là điểm giao nhau của ba đường cao trong tam giác ABC.

2. **Xét điểm M là trung điểm của BC**. Ta sẽ chứng minh rằng đường thẳng HD đi qua điểm M.

3. **Trong tam giác ABC**, đường cao từ A cắt cạnh BC tại điểm H. Do đó, điểm H nằm trên đường cao AD.

4. **Sử dụng định lý**: Đường thẳng từ H đến O sẽ tạo thành một tam giác vuông và từ đó, điểm H sẽ thỏa mãn điều kiện để đường thẳng HD đi qua M.

5. **Kết luận**: Ta có một đường thẳng đi qua H và O cắt BC tại M, chính là trung điểm của BC.

### c) Gọi G là trọng tâm của ∆ABC. Chứng minh rằng H, O, G thẳng hàng

1. **Trọng tâm G** của tam giác ABC là điểm chia đoạn nối giữa đỉnh và trung điểm của đối diện theo tỉ lệ 2:1.

2. **Xét đoạn OG**: Trong tam giác, O là điểm đặc biệt mà cách đều ba đỉnh A, B, C.

3. **Sử dụng định lý**: Để chứng minh H, O, G thẳng hàng, ta có thể sử dụng định lý Menelaus cho tam giác HBC với đường thẳng GO.

4. **Tính toán**: Dựa trên tỉ lệ giữa các đoạn thẳng, ta có:
- \(\frac{HG}{GO} \cdot \frac{OB}{BH} \cdot \frac{CA}{AC} = 1\).

5. **Kết luận**: Do đó, H, O, G là ba điểm thẳng hàng.

Với các bước chứng minh trên, chúng ta đã hoàn thành bài toán.