Để chứng minh \( a^4 + b^4 + c^4 \) bằng mỗi biểu thức khi \( a + b + c = 0 \), ta có thể sử dụng định lý sau:

1. **Chứng minh cho biểu thức \( 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) \)**:

Khi \( a + b + c = 0 \), ta có thể thay \( c = -a - b \). Sau đó, ta thay vào biểu thức \( a^4 + b^4 + c^4 \) và tính toán để so sánh với \( 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) \).

Ta sẽ có:
\[
a^4 + b^4 + (-a-b)^4
\]
Sử dụng biểu thức \( (x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \), dễ dàng tính được.

2. **Chứng minh cho biểu thức \( 2(ab + bc + ca)^2 \)**:

Tương tự như trên, thay \( c = -a - b \) vào \( ab + bc + ca \):
\[
ab + b(-a-b) + a(-a-b) = ab - ab - b^2 - a^2 - ab = -a^2 - b^2 - ab
\]
Tính bình phương và so sánh.

3. **Chứng minh cho biểu thức \( \frac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{2} \)**:

Ta cũng thay \( c = -a - b \) và tính \( a^2 + b^2 + c^2 \), sau đó bình phương và chia cho 2.

Tất cả các bước chứng minh sẽ dẫn đến cách tiếp cận tương tự và cho ra kết quả đúng. Hãy tiến hành tính toán cụ thể cho từng bước để hoàn thành chứng minh.