Cho ∆ABC có O là giao điểm ba đường trung trực của AB; BC; CA. D là điểm nằm trên tia đối tia OA sao cho OD = OA

Để chứng minh rằng \( DC \perp AC \) trong tam giác \( \Delta ABC \) với \( O \) là giao điểm của ba đường trung trực và điểm \( D \) nằm trên tia đối tia \( OA \) sao cho \( OD = OA \), ta tiến hành như sau:

1. **Xác định các điểm**: Gọi \( O \) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \). Từ tính chất của điểm \( O \), ta có \( OA = OB = OC \) (tức là \( O \) là trung điểm của các cạnh \( AB, BC, CA \)) và \( OD = OA \).

2. **Xét tam giác \( OAC \)**: Vì \( OD = OA \) và \( D \) nằm trên tia đối của tia \( OA \), ta có \( D \) nằm trên đường thẳng kéo dài từ \( O \) qua \( A \).

3. **Góc tại \( O \)**: Xét góc \( \angle AOD \). Bởi vì \( OD = OA \), suy ra \( \Delta OAD \) là tam giác cân với \( OA = OD \). Do đó, \( \angle OAD = \angle ODA \).

4. **Xét tính vuông góc**: Để chứng minh \( DC \perp AC \), ta sẽ chứng minh rằng góc \( \angle DCA = 90^\circ \). Trong tam giác cân \( OAD \) như đã nói trên, phân giác \( OC \) của góc \( AOB \) đi qua điểm \( C \).

5. **Sử dụng tính đối xứng**: Vì \( O \) là giao điểm của các trung trực, điểm \( C \) nằm trên đường tròn ngoại tiếp, ta có \( OC \perp AB \) và \( OA \perp CB \) (hai đoạn thẳng này cắt nhau tại \( O \)). Do đó, khi ta kéo dài \( DC \), nó sẽ cắt góc \( AOC \) tại một điểm vuông góc, theo định nghĩa của đồng dạng và tính chất đối xứng từ \( O \).

6. **Kết luận**: Như vậy, \( \angle DCA = 90^\circ \) dẫn đến \( DC \perp AC \).

Tóm lại, ta đã chứng minh được rằng \( DC \) vuông góc với \( AC \) trong tam giác \( \Delta ABC \) với các điều kiện đã cho.