Để chứng minh rằng \( ab + 1 \) là số chính phương với \( a = 11\ldots12 \) và \( b = 111\ldots14 \), trước hết, chúng ta cần diễn giải các số \( a \) và \( b \) trong dạng số cụ thể.

### Bước 1: Diễn giải số \( a \) và \( b \)
Giả sử \( a \) có \( n \) chữ số '1' và một chữ số '2', thì:

\[
a = 10^n + 10^{n-1} + \ldots + 10^1 + 2 = \frac{10^{n+1} - 10}{9} + 2 = \frac{10^{n+1} - 10 + 18}{9} = \frac{10^{n+1} + 8}{9}
\]

Giả sử \( b \) có \( n \) chữ số '1' và một chữ số '4', thì:

\[
b = 10^n + 10^{n-1} + \ldots + 10^1 + 4 = \frac{10^{n+1} - 10}{9} + 4 = \frac{10^{n+1} - 10 + 36}{9} = \frac{10^{n+1} + 26}{9}
\]

### Bước 2: Tính \( ab \)
Kết hợp lại, ta có:

\[
ab = \left( \frac{10^{n+1} + 8}{9} \right) \left( \frac{10^{n+1} + 26}{9} \right) = \frac{(10^{n+1} + 8)(10^{n+1} + 26)}{81}
\]

### Bước 3: Tính toán \( ab + 1 \)
Ta cần tìm giá trị của \( ab + 1 \):

\[
ab + 1 = \frac{(10^{n+1} + 8)(10^{n+1} + 26)}{81} + 1 = \frac{(10^{n+1} + 8)(10^{n+1} + 26) + 81}{81}
\]

### Bước 4: Kiểm tra tính chính phương
Để chứng minh \( ab + 1 \) là số chính phương, chúng ta phải tính cụ thể biểu thức trên và kiểm tra.

- Tính \( (10^{n+1} + 8)(10^{n+1} + 26) + 81 \).

Khi thực hiện phép nhân và cộng, mục tiêu là chứng minh rằng biểu thức này đưa đến một hình vuông hoàn hảo. Cần làm các phép biến đổi như quy tắc khai triển và xem xét các hạng tử:

1. \( (10^{n+1})^2 + 34 \cdot 10^{n+1} + 8 \cdot 26 + 81 \)
2. Ghi nhớ rằng \( 8 \cdot 26 + 81 = 208 + 81 = 289 = 17^2 \).

Do đó, biểu thức chính sẽ cho ra \( (10^{n+1} + 17)^2 \).

### Kết luận
\[
ab + 1 = \frac{(10^{n+1} + 17)^2}{81}
\]

Do đó, \( ab + 1 \) là một số chính phương. Với các giá trị của \( a \) và \( b \) được đưa ra, ta đã chứng minh xong yêu cầu bài toán.