Để giải bài toán, chúng ta sẽ lần lượt xử lý từng bài một.

### Bài 5:
Bác Năm gửi số tiền ban đầu là \( P \).

Lãi suất hàng năm là \( 6.2\% \), tức là \( 0.062 \).

1. **Tính số tiền sau năm đầu tiên**:
\[
S_1 = P + P \times 0.062 = P \times (1 + 0.062) = P \times 1.062
\]

2. **Tính số tiền sau năm thứ hai**:
\[
S_2 = S_1 + S_1 \times 0.062 = S_1 \times (1 + 0.062) = P \times 1.062 \times 1.062 = P \times (1.062)^2
\]

Tính \( (1.062)^2 \):
\[
(1.062)^2 \approx 1.127624
\]
Vậy:
\[
S_2 \approx P \times 1.127624
\]

3. **Số tiền sau hai năm**:
Theo đề bài, bác Năm rút hết tiền là 225568800 đồng. Ta có:
\[
P \times 1.127624 = 225568800
\]
Từ đó, ta tìm \( P \):
\[
P = \frac{225568800}{1.127624} \approx 200000000 \text{ đồng}
\]

### Bài 6:
Gọi số học sinh khối 8 là \( x \) và số học sinh khối 9 là \( y \). Ta có hệ phương trình:

1. \( x + y = 580 \)
2. Số học sinh giỏi khối 8 chiếm 40%:
\[
0.4x
\]
Số học sinh giỏi khối 9 chiếm 48%:
\[
0.48y
\]
Tổng số học sinh giỏi là 256, ta có:
\[
0.4x + 0.48y = 256
\]

Giải hệ phương trình:

1. Từ phương trình 1, ta có \( y = 580 - x \).
2. Thay vào phương trình 2:
\[
0.4x + 0.48(580 - x) = 256
\]
\[
0.4x + 278.4 - 0.48x = 256
\]
\[
-0.08x + 278.4 = 256 \implies -0.08x = -22.4 \implies x = \frac{22.4}{0.08} = 280
\]
Vậy \( y = 580 - 280 = 300 \).

### Bài 7:
Gọi khối lượng dung dịch ban đầu là \( m \) gram.

Dung dịch chứa 12% muối:
\[
\text{Khối lượng muối} = 0.12m
\]

Sau khi pha thêm 350g nước, khối lượng dung dịch trở thành \( m + 350 \) gram và muối vẫn giữ nguyên.
Dung dịch mới có 5% muối:
\[
\frac{0.12m}{m + 350} = 0.05
\]
Giải phương trình:
\[
0.12m = 0.05(m + 350)
\]
\[
0.12m = 0.05m + 17.5 \implies 0.07m = 17.5 \implies m = \frac{17.5}{0.07} = 250 \text{ g}
\]

### Kết quả:
- **Bài 5**: Số tiền ban đầu bác Năm gửi tiết kiệm là 200.000.000 đồng.
- **Bài 6**: Số học sinh khối 8 là 280, khối 9 là 300.
- **Bài 7**: Khối lượng dung dịch trong lọ lúc đầu là 250g.