Để chứng minh ba đường thẳng \(EF\), \(AC\) và \(MN\) đồng quy, chúng ta cần xem xét vị trí hình học của các điểm và các đường thẳng liên quan trong hình bình hành \(ABCD\).

### Bước 1: Xác định các điểm sặc biệt

- **Gọi:**
- \(E\) là giao điểm của đường thẳng đi qua \(A\) vuông góc với \(BD\) và đường thẳng \(BD\).
- \(M\) là giao điểm của đường thẳng qua \(A\) và đường thẳng \(DC\).
- \(F\) là giao điểm của đường thẳng đi qua \(C\) vuông góc với \(BD\) và đường thẳng \(BD\).
- \(N\) là giao điểm của đường thẳng qua \(C\) và đường thẳng \(AB\).

### Bước 2: Phân tích tính chất của hình bình hành

Trong hình bình hành \(ABCD\):
- Các cạnh đối song song và có độ dài bằng nhau: \(AB \parallel CD\) và \(AD \parallel BC\).
- Các góc đối bằng nhau: \(\angle DAB = \angle BCD\) và \(\angle ABC = \angle ADC\).

### Bước 3: Tính chất hình học của các đường thẳng

1. **Đường thẳng \(AC\):**
- Là đường chéo của hình bình hành \(ABCD\), vì vậy nó cũng là đường trung bình trong hình bình hành.

2. **Đường thẳng \(EF\):**
- Do đường thẳng qua \(A\) vuông góc với \(BD\), điểm \(E\) và \(F\) được xác định từ \(A\) và \(C\) vuông góc với \(BD\). Điều này cho thấy \(EF\) cũng có một số tính chất đặc trưng trong việc tạo thành các góc vuông trong tam giác.

3. **Đường thẳng \(MN\):**
- Tương tự, \(MN\) được xác định qua giao điểm của các đường vuông góc từ \(A\) và \(C\) giao với các cạnh của hình bình hành.

### Bước 4: Chứng minh đồng quy

Ta sẽ chứng minh rằng ba đường thẳng \(EF\), \(AC\) và \(MN\) gặp nhau tại một điểm.

Sử dụng nguyên lý đồng dư góc:
- Các đường thẳng \(AE\) và \(CF\) đều vuông góc với \(BD\).
- Các đường thẳng \(AM\) và \(CN\) cũng đồng thời vuông góc với các đoạn thẳng \(BD\).

Các góc hình thành giữa các đoạn thẳng này sẽ tạo ra những tam giác tương đồng do tính chất của các đường và hình học của hình bình hành.

### Bước 5: Kết luận

Nhờ tính đối xứng và các thuộc tính của hình bình hành, chúng ta có thể kết luận rằng ba đường thẳng \(EF\), \(AC\) và \(MN\) gặp nhau tại một điểm chung.

Do đó, ta có thể khẳng định rằng:

\[
EF, AC, MN \text{ đồng quy.}
\]