Để chứng minh rằng nếu \( P(2 + \sqrt{3}) = 0 \) thì \( P(2 - \sqrt{3}) = 0 \) với \( P \) là một đa thức hệ số nguyên, ta có thể sử dụng tính chất của các nghiệm của đa thức với hệ số nguyên.

1. **Bước 1:** Gọi \( \alpha = 2 + \sqrt{3} \) và \( \beta = 2 - \sqrt{3} \). Chúng ta thấy rằng \( \alpha \) và \( \beta \) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai có hệ số nguyên.

2. **Bước 2:** Tính toán tổng và tích của hai nghiệm:
\[
\alpha + \beta = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4,
\]
\[
\alpha \cdot \beta = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1.
\]
Vậy chúng ta có phương trình bậc hai:
\[
x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \cdot \beta = 0 \implies x^2 - 4x + 1 = 0.
\]

3. **Bước 3:** Từ \( P(2 + \sqrt{3}) = 0 \), theo định lý về nghiệm, \( P(x) \) có thể được viết thành tích của các đa thức bậc nhỏ hơn có nghiệm là \( 2 + \sqrt{3} \) và nên chứa nghiệm liên quan đến \( 2 - \sqrt{3} \). Do đó, nếu \( P(x) \) là đa thức có hệ số nguyên và có một nghiệm là \( 2 + \sqrt{3} \), thì \( 2 - \sqrt{3} \) cũng phải là một nghiệm của \( P(x) \) và dẫn đến \( P(2 - \sqrt{3}) = 0 \).

4. **Kết luận:** Chúng ta đã chứng minh rằng nếu \( P(2 + \sqrt{3}) = 0 \), thì \( P(2 - \sqrt{3}) = 0 \).

Vậy, \( P(2 - \sqrt{3}) = 0 \) cũng đúng.