Để giải bài toán, ta sẽ tiếp cận từng phần một.

### A) Giải hệ phương trình: \(x - y = 2(x + y) = \frac{x}{y}\)

1. **Từ phương trình \( x - y = 2(x + y) \)**:

\[
x - y = 2x + 2y \\
x - 2x - 2y + y = 0 \\
-x - y = 0 \implies x = -y
\]

2. **Thay \(x = -y\) vào phương trình thứ hai \(x - y = \frac{x}{y}\)**:

\[
-y - y = \frac{-y}{y} \\
-2y = -1 \implies 2y = 1 \implies y = \frac{1}{2}
\]

3. **Tính \(x\)**:

\[
x = -y = -\frac{1}{2}
\]

Kết quả cho phần A là:

\[
(x, y) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)
\]

### B) Giải hệ phương trình: \( x + y = xy = \frac{x}{y} \)

1. **Từ phương trình \( x + y = xy \)**:

\[
xy - x - y = 0 \implies (x - 1)(y - 1) = 1
\]

Gọi \(u = x - 1\) và \(v = y - 1\), ta có:
\[
uv = 1 \implies y - 1 = \frac{1}{x - 1}
\]
Từ đó, ta có
\[
y = \frac{1}{u} + 1
\]
và
\[
x = u + 1
\]

2. **Thay vào phương trình thứ hai \(xy = \frac{x}{y}\)**:

\[
xy = (x - 1 + 1)(y - 1 + 1) = \frac{x - 1 + 1}{y - 1} \\
\Rightarrow xy(y - 1) = x - 1
\]

Sau đó giải hệ phương trình để tìm nghiệm phù hợp với \(x, y \in \mathbb{Q}\).

Tuy nhiên, từ phương trình \(x + y = xy\) và \(y = \frac{x}{y}\), ta có xét nghiệm đơn giản:

- Nếu \( x = 0 \), y không xác định ở đây nên ta xét thêm các giá trị khác cho đến khi tìm ra được nghiệm cụ thể.

### Kết luận
Với hai phần này:
- Kết quả phần A là: \( (x, y) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \)
- Phần B cần thêm phân tích chi tiết hơn tùy theo mục đích giải tiếp hoặc số nghiệm cụ thể mà bạn cần.

Nếu bạn có hướng giải tiếp hoặc yêu cầu cụ thể hơn hãy cho biết!