### Bài 2:

**a)** Chứng minh rằng \( BC^2 = 2AH^2 + BH^2 + CH^2 \):

Để chứng minh, ta sẽ sử dụng định lý Pythagore cho các tam giác nhỏ.

- Gọi \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).
- Trong tam giác vuông \( ABH \) và \( ACH \), theo định lý Pythagore ta có:

\[
AB^2 = AH^2 + BH^2 \quad (1)
\]
\[
AC^2 = AH^2 + CH^2 \quad (2)
\]

- Cộng hai phương trình (1) và (2):

\[
AB^2 + AC^2 = 2AH^2 + BH^2 + CH^2
\]

- Do \( BC^2 = AB^2 + AC^2 \) (theo định lý Pythagore), nên ta có:

\[
BC^2 = 2AH^2 + BH^2 + CH^2
\]

**b)** Chứng minh rằng \( AH^2 = BH \cdot CH \):

Theo định lý diện tích, ta có diện tích của tam giác \( ABC \) có thể tính bằng hai cách:

1. Diện tích bằng \( \frac{1}{2} AB \cdot AC \)
2. Diện tích bằng \( \frac{1}{2} BC \cdot AH \)

Vì vậy:

\[
AB \cdot AC = BC \cdot AH
\]

Chia hai vế cho \( BC \) và thay \( AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} \) vào, ta sẽ có:

\[
AH^2 = BH \cdot CH
\]

### Bài 3:

**a)** Chứng minh rằng tam giác \( ABC \) vuông:

- Sử dụng định lý Pythagore:

\[
AB^2 + AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169
\]
\[
BC^2 = 13^2 = 169
\]

Vì \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \), nên tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \).

**b)** Tính \( CD \):

- Gọi \( AD = 9cm \), chiều dài của \( CD \) là:

\[
CD = AD + AC = 9cm + 12cm = 21cm
\]

Vậy \( CD = 21cm \).