Để chứng minh các phần a), b), c) trong bài toán cho tam giác vuông ABC với \( \angle A = 90^\circ \) và \( AB < AC \), ta làm theo các bước sau:

### a) Chứng minh \( \triangle ACB \sim \triangle CEI \)

1. **Xác định các góc**:
- \( \angle ACB = 90^\circ \) (do tam giác ABC vuông tại A).
- \( \angle CIE = 90^\circ \) (đường thẳng EI vuông góc với AC).

2. **So sánh tỷ lệ**:
- Hai tam giác này có góc chung \( \angle ACI \) (góc tại C).
- Do đó, theo tiêu chí góc-góc-góc (AAA), ta có:
\[
\triangle ACB \sim \triangle CEI
\]

### b) Chứng minh \( \triangle ABI \sim \triangle CAE \)

1. **Xác định các góc**:
- Từ \( \triangle ACB \sim \triangle CEI \), suy ra \( \angle AIB = \angle EAC \).
- \( \angle ABI \) và \( \angle CAE \) đều là 90° (do đường thẳng BI vuông góc với AB và EI vuông góc với AC).

2. **So sánh tỷ lệ**:
- Cả hai tam giác đều có góc A chung, do đó:
\[
\triangle ABI \sim \triangle CAE
\]

### c) Chứng minh \( AE \perp BI \)

- Theo định nghĩa của điểm E:
- \( EI \) vuông góc với \( AC \) và \( BI \) vuông góc với \( AB \).

- Từ \(\triangle ABI\) và \(\triangle CAE\) được chứng minh tương đương, suy ra rằng:
- Gọi \( \angle ABI = 90^\circ \) và \( \angle CAE = 90^\circ \).
- Vẽ đường thẳng kết nối AE, BI, thì tại E, chúng ta có:
\[
AE \perp BI
\]

### Kết luận:
Tất cả các phần đã chứng minh xong. Hy vọng rằng điều này sẽ giúp bạn trong bài tập của mình!