Tìm m để hệ phương trình

Để giải các bài toán trên, ta sẽ phân tích từng hệ phương trình và tìm giá trị của \( m \).

### c. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
\[
\begin{cases}
x - 2y = 5 \\
mx - y = 4
\end{cases}
\]
Để hệ phương trình này có nghiệm duy nhất, định thức của hệ (ma trận hệ số) phải khác 0:
\[
\begin{vmatrix}
1 & -2 \\
m & -1
\end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot m = -1 + 2m \neq 0
\]
Giải bất phương trình:
\[
2m \neq 1 \quad \Rightarrow \quad m \neq \frac{1}{2}
\]

### d. Hệ phương trình có vô số nghiệm
\[
\begin{cases}
3x + 2y = 4 \\
2x - y = m
\end{cases}
\]
Để có vô số nghiệm, hai phương trình phải tỉ lệ với nhau. Ta kiểm tra hệ số:
\[
\frac{3}{2} = \frac{2}{-1} \Rightarrow \text{điều kiện: } 3(-1) = 2 \cdot k \quad \text{và } 4 = 2 \cdot k
\]
Giải:
\[
k = -2 \Rightarrow m = -2
\]

### e. Hệ phương trình vô nghiệm
\[
\begin{cases}
(m-1)x - y = 2 \\
mx + y = m
\end{cases}
\]
Để có vô nghiệm, định thức hệ phải bằng 0 nhưng không có nghiệm chung. Ta tính định thức:
\[
\begin{vmatrix}
m-1 & -1 \\
m & 1
\end{vmatrix} = (m-1) \cdot 1 - (-1)m = m - 1 + m = 2m - 1 = 0
\]
Giải bất phương trình:
\[
m = \frac{1}{2}
\]
Để vô nghiệm, hai phương trình phải không đồng nhất mà vẫn tỉ lệ:
\[
(m-1)(1) \neq 2m
\]
Giải điều kiện không tỉ lệ:
\[
m \neq 1
\]

### f. Hệ phương trình có vô số nghiệm
\[
\begin{cases}
x - 2y = 5 \\
mx - y = 4
\end{cases}
\]
Tương tự phần c, hệ này có vô số nghiệm khi:
\[
\frac{1}{m} = \frac{-2}{-1} \Rightarrow \text{Điều kiện: } 1 = -2m \quad \Rightarrow \quad m = -\frac{1}{2}
\]

### g. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
\[
\begin{cases}
x + 2y = 2 \\
mx - y = m
\end{cases}
\]
Để hệ có nghiệm duy nhất, xác định điều kiện:
\[
\begin{vmatrix}
1 & 2 \\
m & -1
\end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) - 2m \neq 0 \quad \Rightarrow \quad -1 - 2m \neq 0 \quad \Rightarrow m \neq -\frac{1}{2}
\]

### Tóm tắt kết quả:
- c: \( m \neq \frac{1}{2} \)
- d: \( m = -2 \)
- e: \( m = \frac{1}{2} \) (và \( m \neq 1 \))
- f: \( m = -\frac{1}{2} \)
- g: \( m \neq -\frac{1}{2} \)