Để chứng minh bất đẳng thức \( a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{1}{3} \) với điều kiện \( a + b + c = 1 \), ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

### a) Chứng minh \( a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{1}{3} \)

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
(a^2 + b^2 + c^2)(1^2 + 1^2 + 1^2) \geq (a + b + c)^2
\]

Thay \( a + b + c = 1 \) vào, ta có:

\[
(a^2 + b^2 + c^2)(3) \geq 1^2
\]

Vậy:

\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{1}{3}
\]

Do đó, bất đẳng thức đã được chứng minh.

### b) Tìm giá trị nhỏ nhất của \( A = x^4 + y^4 + z^4 \) với điều kiện \( xy + yz + zx = 1 \)

Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta cũng có thể dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Theo Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
(x^2 + y^2 + z^2)(x^2 + y^2 + z^2) \geq (xy + yz + zx)^2
\]

Giả sử \( s = x^2 + y^2 + z^2 \). Ta có:

\[
s^2 \geq (xy + yz + zx)^2 = 1^2 = 1 \implies s \geq 1
\]

Với \( s \) nhỏ nhất bằng 1 khi \( x = y = z \). Từ đó, ta cũng có thể áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

\[
x^4 + y^4 + z^4 \geq \frac{(x^2 + y^2 + z^2)^2}{3} \geq \frac{1^2}{3} = \frac{1}{3}
\]

Giá trị nhỏ nhất của \( A \) xảy ra khi \( x = y = z \). Với điều kiện \( xy + yz + zx = 1 \), bằng cách giải hệ phương trình, ta có thể tính ra được giá trị cụ thể.

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( A \) đạt được tại các giá trị x, y, z bằng nhau, cụ thể là:

\[
A_{\min} = \frac{1}{3}
\]

Cả hai bài toán đã được chứng minh xong.