Để tìm tất cả các số nguyên \( x \) thỏa mãn phương trình:

\[
\frac{1}{5} \cdot 2^x + \frac{1}{3} \cdot 2^{x+1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{7} + \frac{1}{3} \cdot 2^8
\]

Trước tiên, ta sẽ đơn giản hóa cả hai vế của phương trình.

### Bước 1: Đơn giản hóa vế trái

Ta có:

\[
\frac{1}{5} \cdot 2^x + \frac{1}{3} \cdot 2^{x+1} = \frac{1}{5} \cdot 2^x + \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2^x = \frac{1}{5} \cdot 2^x + \frac{2}{3} \cdot 2^x
\]

Kết hợp các hệ số:

\[
= \left(\frac{1}{5} + \frac{2}{3}\right) \cdot 2^x
\]

Tìm mẫu số chung của \( \frac{1}{5} \) và \( \frac{2}{3} \):

Mẫu số chung của 5 và 3 là 15:

\[
\frac{1}{5} = \frac{3}{15}, \quad \frac{2}{3} = \frac{10}{15}
\]

Vậy:

\[
\frac{1}{5} + \frac{2}{3} = \frac{3}{15} + \frac{10}{15} = \frac{13}{15}
\]

Do đó, vế trái trở thành:

\[
\frac{13}{15} \cdot 2^x
\]

### Bước 2: Đơn giản hóa vế phải

Tính giá trị của vế phải:

\[
\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{7} + \frac{1}{3} \cdot 2^8
\]

Tính \( \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{7} \):

\[
\frac{2}{35}
\]

Tính \( \frac{1}{3} \cdot 2^8 \):

\[
= \frac{1}{3} \cdot 256 = \frac{256}{3}
\]

Giờ tìm mẫu số chung của \( \frac{2}{35} \) và \( \frac{256}{3} \):

Mẫu số chung là 105:

\[
\frac{2}{35} = \frac{6}{105}, \quad \frac{256}{3} = \frac{8960}{105}
\]

Do đó, vế phải trở thành:

\[
\frac{6}{105} + \frac{8960}{105} = \frac{8966}{105}
\]

### Bước 3: So sánh vế trái và vế phải

Giờ ta đặt vế trái và vế phải bằng nhau:

\[
\frac{13}{15} \cdot 2^x = \frac{8966}{105}
\]

Nhân cả hai vế với 105 để loại bỏ mẫu số:

\[
105 \cdot \frac{13}{15} \cdot 2^x = 8966
\]

Tính \( 105 \cdot \frac{13}{15} \):

\[
= \frac{1365}{15} = 91
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
91 \cdot 2^x = 8966
\]

Chia cả hai vế cho 91:

\[
2^x = \frac{8966}{91} = 98.3
\]

### Bước 4: Phân tích \( 98.3 \)

Số \( 98.3 \) không phải là một số nguyên và cũng không thể viết dưới dạng \( 2^x \) cho \( x \) là số nguyên.

### Kết luận

Không tồn tại số nguyên \( x \) nào thỏa mãn phương trình đã cho.