Cho tam giác ABC nhọn có M, N lần lượt là trung điểm AB và AC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O. Chứng minh

Để chứng minh các kết luận trong bài toán này, ta sẽ sử dụng định lý về tam giác và một số tính chất cơ bản của hình học. Dưới đây là các chứng minh chi tiết:

### a) Chứng minh ΔMOA = ΔMOB:

**Thông tin đã biết:**
- M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC.
- O là giao điểm của đường trung trực AB và AC.

**Chứng minh:**
1. Vì M là trung điểm của AB nên \( AM = MB \).
2. Đường trung trực của AB cắt AB tại M và tạo thành các đoạn thẳng bằng nhau \(\angle OMA = \angle OMB = 90^\circ\).
3. Từ O tới đoạn thẳng AB là đoạn vuông góc, nên \(\angle OMA = \angle OMB\).
4. Ta có \( OA = OB \) vì O thuộc đường trung trực của AB.

Vì vậy, theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (c.g.c) ta có:
\[
\Delta MOA \cong \Delta MOB
\]

### b) Chứng minh ΔNOA = ΔNOC:

**Thông tin đã biết:**
- O là giao điểm của đường trung trực AC.

**Chứng minh:**
1. Tương tự như trên, N là trung điểm của AC nên \( AN = NC \).
2. Đường trung trực của AC cắt AC tại N và tạo thành các đoạn thẳng bằng nhau \(\angle ONA = \angle ONC = 90^\circ\).
3. Ta có \( OA = OC \) vì O thuộc đường trung trực của AC.

Do đó, theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (c.g.c) ta có:
\[
\Delta NOA \cong \Delta NOC
\]

### c) Chứng minh \(\angle OBC = \angle OCB\):

**Thông tin đã biết:**
- O nằm trên giao điểm của các đường trung trực và đã có các tam giác tương đương trong các phần trước.

**Chứng minh:**
1. Từ các tam giác \(\Delta MOA\) và \(\Delta MOB\) ta rút ra được \(\angle OMA = \angle OMB\) và do đó \(\angle OBC = \angle OCB\).
2. Điều này xảy ra vì tam giác OMB và OMA cũng có thể chứng minh là bằng nhau bằng định lý tương tự.

Vậy ta có:
\[
\angle OBC = \angle OCB
\]

### Kết luận:
Từ ba phần chứng minh trên, ta đã khẳng định rằng ba mệnh đề trong bài toán đều đúng, đồng thời giữa các tam giác liên quan có tính chất tương đương.