Để tìm các giá trị của \( a \) và \( b \) cho hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
3x + ay = 5 \\
2x + y = b
\end{cases}
\]

ta cần phân tích các trường hợp.

### 1. Có nghiệm duy nhất:
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi định thức của ma trận hệ số khác 0. Ma trận hệ số là:

\[
\begin{pmatrix}
3 & a \\
2 & 1
\end{pmatrix}
\]

Tính định thức:

\[
D = 3 \cdot 1 - 2 \cdot a = 3 - 2a
\]

Để có nghiệm duy nhất, ta cần:

\[
D \neq 0 \implies 3 - 2a \neq 0 \implies a \neq \frac{3}{2}
\]

### 2. Vô nghiệm:
Hệ phương trình vô nghiệm khi các hệ số tỷ lệ nhưng hằng số không tỷ lệ. Ta có:

\[
\frac{3}{2} = \frac{a}{1} \implies a = \frac{3}{2}
\]
Nếu \( a = \frac{3}{2} \), ta kiểm tra xem \( b \) có bằng gì để hệ vô nghiệm. Thay vào hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
3x + \frac{3}{2}y = 5 \\
2x + y = b
\end{cases}
\]

Tính để biến đổi phương trình thứ nhất sang dạng tỷ lệ với phương trình thứ hai:

\[
\begin{cases}
3x + \frac{3}{2}y = 5 \quad (1)\\
\frac{3}{2}(2x + y) = \frac{3}{2}b \quad (2)
\end{cases}
\]

Từ (1) nối (2):

\[
5 \neq \frac{3}{2}b
\]
\[
b \neq \frac{10}{3}
\]

### 3. Vô số nghiệm:
Hệ phương trình có vô số nghiệm khi các phương trình là tương đương, tức là tỷ lệ với nhau và các hằng số cũng tỷ lệ:

\[
\frac{3}{2} = \frac{a}{1} \text{ và } \frac{5}{b}
\]
Ta tìm giá trị \( b \):

\[
a = \frac{3}{2}, \quad b = \frac{10}{3}
\]

### Kết luận:
- **Có nghiệm duy nhất:** \( a \neq \frac{3}{2} \)
- **Vô nghiệm:** \( a = \frac{3}{2}, b \neq \frac{10}{3} \)
- **Vô số nghiệm:** \( a = \frac{3}{2}, b = \frac{10}{3} \)